大学物理(吴百诗)习题答案3运动守恒定律

大学物理练习册—运动守恒定律8冲量和动量定理3-1质量m=10kg的物体在力Fx=30+4tN的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始2s内此力的冲量I；（2）如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=10m/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？解：(1)sN68d)430(d2020tttFIxx(2)300230d)430(d200tttttFIttxt，s86.6t(3)1212mvmvppI，s86.6t，sN300I，m/s20)1010300(101)(112mvImv3-2质量m=1kg的物体沿x轴运动，所受的力如图3-2所示。t=0时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律和动量定理分别求解t=7s时此质点的速度。解：(1)75355502ttttF50t，ttvm2dd，500d2d1ttvmv，(m/s)25251mv75t，355ddttvm，75d)355(d21ttvmvv，(m/s)352v(2)s)(N35)107(21d70tFI，212mvmvmvI，(m/s)352v动量守恒定律3-3两球质量分别为m1=3.0g，m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述运动，两者速度分别为cm/s81iv，cm/s)168(2jiv，若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v的大小为多少？与x轴的夹角为多少？解：系统动量守恒jivmvmvmm8064)(221121，jiv108cm/s8.1210822vv，与x轴夹角3.51810arctan3-4如图3-4所示，质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。解：系统在水平方向动量守恒0)(VMmv，MVmv两边对整个下落过程积分tttVMtvm00dd令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离，则ttvs0d，ttVS0d，MSms。又SRs，所以RMmmS另解：m相对于M在水平方向的速度vMMmVvv。对整个下落过程积分tttvMMmtv00dd，sMMmR，M在水平方向的移动距离RMmmsRS图3-210Ot/sF/N57mMR图3.4大学物理练习册—运动守恒定律9质心质心运动定律3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心（如图3-3所示）。解：设薄板质量为m，面密度为22Rm。由质量分布对称性知，质心在x轴上。在距o点为x的地方取一宽度为xd细长条，对应的质量xxRmd2d22，由质心定义34d2d0220RxxRxmmmxxRRc3-6一根长为L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图3-6所示。开始时，BC=b，试用质心的方法证明当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速率为)92(222bbLLLgv。解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律LayLyg)]([，gLLya2，gaLy3132yvvtyyvtvgLLyadddddddd2，LbvyLyLgvv320d)2(d22922bbLLLgv另解(用质心)当bBC时，链系的质心为LbLbLmbbbLbLyc22222)(22当LBC32时，链系的质心为Lyc185又重力的功等于物体动能的增量221)(mvyymgcc，)(22ccyygv，22922bbLLLgv角动量（动量矩）及其守恒定律3-7已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行，其角动量大小为L，求它的动能、势能和总能量。（引力势能rmmGEp21，G为万有引力常数）解：rmvL，mrLv，222221mrLmvEk设地球质量eM，rmMGEep，由牛顿定律rvmrmMGe22，2mvrmMGe，22mrLEepOyxR图3-5CBb图3-6大学物理练习册—运动守恒定律1022222222mrLmrLmrLEEEpk3-8质量为m的质点在xOy平面内运动，其位置矢量为jtbitarsincos，其中、、ba为常量，求（1）质点动量的大小；（2）质点相对于原点的角动量。解：(1)jtbitatrvcossindd)cossin(jtbitamvmp，tbtamppcossin222(2)kabmjtbitamjtbitaprL)cossin()sincos(3-9质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上绕O点轴自由转动，杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c，垂直于杆以水平速度ov与b球碰撞（如图3-9所示），并粘在一起。求（1）碰撞前c球相对于O的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。解：(1)0vmrL方向垂直纸面向下。0043lmvrmvL(2)系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为，则)41(41)43()2(43430lmllmllmv，lv19120功和动能定理3-10一人从10m深的井中提水，已知水桶与水共重10kg，求（1）匀速上提时，人所作的功；（2）以a=0.1m/s2匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？解：(1)0mgF，mgF，J980dd100100ymgyFA(2)mamgF，)(agmF，J990d)(d100100yagmyFA(3)0)2.0(gymF，gymF)2.0(，J882d)2.0(d100100yymgyFA3-11质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4xN的作用下，自静止开始沿x轴运动了3m，若不计摩擦，求（1）力Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。解：(1)J27d)43(d3030xxxFAx(2)由动能定理222132212121mvmvmvA，m/s322mAv(3)由牛顿定律2m/s5.26343mFaxx3-12质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，求在Ts内此力所作的功。解：由牛顿定律tvmbtFdd，vtvmtbt00dd，mbtv22，Tt时，mbTv22由动能定理mTbmvmvmvA8212121422202Oacb图3.9lmmm0vl/4大学物理练习册—运动守恒定律11另解：tmbttvxd2dd2，mTbtmbtbtxFATx8d2d4202保守力的功和势能3-13质量为m的小球系在长为l的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图3-13所示，当小球下摆角时，（1）绳中张力T对小球做功吗？合外力gmTF对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆角时的速率。解：(1)rTd，0drTAT，张力T对小球不做功。21sind)d(ddd)(yyFmglymgjyixjmgrgmrgmTA(2)sin)(12mglyymgEp，可见重力的功等于小球势能增量的负值。(3)由动能定理221sinmvmgl，sin2glv3-14质量为m的质点沿x轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为B的常力，另一个力沿x轴正方向、大小为A/x2，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置x处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。解：(1)BxAF2，0F时，BAx0(2))11(dd021100xxAxxAxFAxxxx，)(dd02200xxBxBxFAxxxx1A、2A只与始末位置有关，即两力均为保守力。(3)ABBxxAxxBxxAxBxAxFExxxxp2)()11(d)(d00200功能原理和机械能守恒3-15如图3-15所示，一质量为m’的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为，高度为h，物块与斜面的动摩擦因数为，今有一质量为m的子弹以速度0v沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒子弹射入物块后的速度大小为1v，则10)(cosvmmmv，mmmvvcos01取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为2v，由功能定理ghmmvmmvmmhgmm)()(21)(21sincos)(2221OTOgmO图3-130vhA图3.15大学物理练习册—运动守恒定律12)1cot(2cos202ghmmmvv3-16劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体A，放在光滑水平面上，当把弹簧压缩x。后，再靠着A放一质量为mB的物体B，如图3-16所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求A与B离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。解：(1)弹簧到达原长时A开始减速，A、B分离。设此时速度大小为v，由机械能守恒220)(2121vmmkxBA，BAmmKxv0(2)A、B分离后，A继续向右移动到最大距离mx处，则222121mAkxvm，BAAAmmmmxkmvx03-17如图3-17所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。解：由机械能守恒221)sin1(mvmgR，)sin1(22gRv冰块离开屋面时，由牛顿定律Rvmmg2sin，32sin，8.4132arcsingRgRv32)sin1(2碰撞3-18一质量为m0以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2m0的静止粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了450，并具有末速v0/2。求质量为2m0的粒子偏转后的速率和方向。解：碰撞前后动量守恒sin245sin2cos245cos200000000vmvmvmvmvm00368.02254vvv，7.28445sinarcsin0vv3-19图3-19所示，一质量为m的小球A与一质量为M的斜面体B发生完全弹性碰撞。（1）若斜面体放置在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？解：(1)以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。设碰撞后小球和斜面速度大小为v、V，则ABOx0x图3-16R图3.17ABvv图3-19•0m0vxy•02m20vv大学物理练习册—运动守恒定律13MVmv，vMmV。又根据能量守恒定理222212121MVvmmv，MmMvv(2)由动能守恒知vv。小球与斜面碰撞时，斜面对小球的作用力在垂直于斜面方向，碰撞前后在平行于斜面方向动量守恒