11-4多元复合函数的求导法则11.4.7

第四节多元复合函数的求导法则第十一章一元复合函数求导法则微分法则第四节多元复合函数的求导法则第十一章一、多元复合函数求导的链式法则二、一阶全微分的形式不变性一、多元复合函数求导的链式法则),(),(),(yxyxvyxu在点和设函数处在对应点),(),(vuvufz可微，则复合函数)],(),,([yxyxfz处可导，且在点),(yx定理11.5xz,的偏导数及具有对yxuzxuvzxvyzuzyuvzyvzvuyxyx若引入记号：,),(),(21vvuffuvuff，xyxψψxyxφφ),(),(11，xvvzxuuzxz11f12ψf21φf22fyvvzyuuzyz则注.1º复合关系图(结构图)xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yvuvxzy口诀:“连线相乘，分线相加”;“项数=通向该自变量的路径数”.“单路全导,叉路偏导”xy2º其他情形函数关系结构图求导公式)()(),(xvxuvufzzuvx全导数),(vufzuzvxyxuuzxzyvvzyuuzyzddxvvzxuuzxzddddddxy函数关系关系图求导公式),()(yxuufz,ddxuuzxzyuuzyzdduyxz),(),,(yxwwyxfzzwxxyyxwwfxfxz),(),(),(),,(yxwwyxvvyxuuwvufzzwxuvyyxywwzyvvzyuuzyzywwfyfyz★xwwzxvvzxuuzxz变量x一身兼两职xy),,,(wyxfz),(yxw即),,,(wvufz,xu,yv★),(yxwzzduzwxudxwx1zzwuwx,xwwfxfzwxxyy,1xu,0xv,0yu.1yvyzwxuvyx若定理中3°偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.解法1xzuzxuvzxvyveusin),cossin(vvyeuyzuzyuvzyvxveusin).cossin(vvxeu1.中间变量均为多元函数的情形例11cosveu1cosveu,,,sinyxvyxuvezu设.,yzxz求zvuyxyx解法2vezusin)sin(yxexyxz)sin(yxyexy1)cos(yxexy)]cos()sin([yxyxyexy例2解uwv.),,(的一阶偏导数偏导数，求函数有一阶连续其中设ufzyyxfu则设,,zywyxv.,),,(复合而成由zywyxvwvfuxuvuvfyuvuyxvfxv,1yyvwuyw)(2yxwfz1zyzuwuwf.2wfzy21),(),(fwwvffvwvf，,11fyxu若使用记号:则上述结果可表示为:zywyxvwvfu,),,(,1212fzfyxyu.22fzyzuzw)(2zyuwvyxzy2.中间变量均为一元函数的情形例3解.dd,0)(,)]([)(xyxfxfyxφ求其中设令),(),(xφvxfu则,vuy所以1vvu.)(ln)()()()()]([)(xfxφxfxfxφxfxφxvvyxuuyxydddddd)(xf)(lnuuv)(xφyxuvx3.中间变量只有一个的情形例4yzxz,求解)(yxyu令zuxyxuduzxzdyuf)()]([yxyfyyuuzyzdd)]([)(yxuf)]([)]([yxyfyx可微，其中设,)],([fyxyfz4.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形例5.,sin,2222yuxuyxzeuzyx及求设解法1222),,(zyxezyxfu令uzxxyyxzzfxfxuxezyx2222zezyx2222yxsin2.)sin21(22sin42222yxyxeyxxyzzfyfyuyezyx2222zezyx2222yxcos2.)2sin2(2sin4224yxyxeyxy解法2yxyxeu2422sinxu注.对具体函数，用解法2较简单.'2422sinsin2422xyxyxyxyxe）（）（yxxeyxyx23sinsin422422为简便起见,再引入记号,,2121vuffuff例6设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff例7解.,,),,(2yxzevxyuvufzx求设xz1fxyz11fvuzuzxuy2f,xevu21ff1fy2fex.21111xxeffxyfxx11)(xzyxxyxxy例8解),,(xyxfv令xuxvxv)(xwwfxfxv)]([221xyffxf.21fxyfxfyuxu,求vwxxy.xywuxyuyvvuywwvvu221fxfx.2yxu及.),,(的二阶偏导数存在设fxyxxfuyxu2)(xuy)(21fxyfxfyfwxxy1f2fxf12xfx112.22212fxyfxywwxfvxvu),(xu.21fxyfxf)11-222xfxyfx（二、一阶全微分形式不变性vvzuuzzddd当u,v是自变量时，有当u,v是中间变量时，若均有连续的偏导数，则yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(yyvvzyuuzd)()dd(yyuxxu)dd(yyvxxvudvddz无论u,v是自变量还是中间变量,其一阶全微分表达形式都一样,均有——一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性的实质:.dddvvzuuzz已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2d(zxyeze,0dd2)d(zezxyezxy)dd(d)2(xyyxezexyzyexexeyezzxyzxyd)2(d)2(dxz,2zxyeyeyz.2zxyexe例9内容小结1.复合函数求导的链式法则“连线相乘,分线相加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;1φ2φ2.一阶全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d思考与练习解vz1xzyz)1(22yxxy22vuu1.设，vuyvuxyxz,,arctan.vz求2.设xu1f，11fyyu1f2fzu2f，2121fzfyx.22fzyzyyxfu,其中f可微,求u的一阶偏导数.解3.,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy已知求.),(22xyyxf解由两边对x求导,得备用题例1-1解法1.,23,,ln2yzyxvyxuvuz求而设代入，得到复合函数，把vu),23ln(22yxyxz：数的方法求再利用多元函数求偏导yz322yxyz)23ln(yx22yxyx232.2312)23ln(22322yxyxyxyxuzv画出关系yvvzyuuzyz写出公式vuln2求出各偏导数.)23(2)23ln(23232yxyxyxyx将x，y代入利用多元复合函数的求导法则:解法2xy2yxvu12)2(例1-2解.,cos,sin,22yzxzyxvyxuuvvuz和求设xzxvvzxuuz)2(2vuvyyyx2sin)cos(sin232zvuyxyxysin)2(2uvuycos,cos,sin,22yxvyxuuvvuzyzyvvzyuuz)2(2vuvyxcos)2(2uvu)sin(yx.12sin23)cos(sin3yyyxzvuyxyx例3-1.dd),(),,(22xzfxyyxxyfz求可微，设解xzdd)dd1(1xyxyf)dd22(2xyyxf1)]([fxxy.)]()([22fxxxz12yxxx例3-2设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtz求全导数,teu,costv解tcos设,)(ufz方程)(uφuxytdtp)(确定u是x,y的函数,,)(,)(可微其中uφuf)(),(uφtp连续,且,1)(uφ求.)()(yzxpxzyp解例4-2例6-1.),(),,(),,,(zuxuzxhttxgyzyxfu及均可微，求设解uzxxytxzxyyfxfxufgh)(xhtgxgyfxfxhtgyfxgyfxfzfzhtgyfzu例6-3))1,1(,1()1(ffφ1)(dd3xxφx1)1,1(f1dd)(32xxφxφ)(132φ)),(,(1xxfxf)),(,(2xxfxf1x351,1)1,1(f,)),(,()(xxfxfxφ,2)1,1(xf求.1)(dd3xxφx),(yxfz在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(yf解由题设23)32((2001考研)例7-1解.0,,22zyzxxzyyxvxu的解求方程下在自变量变换看作由将z22,),,(yxvxuvuzz,复合而成的复合函数则xzxvvzxuuzdd,2vzxuzyzyvvz.2vzyuzvxy化简得.0uz,,vuz只依赖于变量不依赖于变量这表明，函数因此),(vfz，是任意可微的一元函数其中f从而原方程的解为).(22yxfz得代入原方程,,022