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1.5.3定积分的概念第一章常用逻辑用语求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi],第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:,所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值:xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--第一章常用逻辑用语一、定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx==-D=小矩形面积和S=如果当n∞时,S的无限接近某个常数,这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作baf(x)dx,即baf(x)dx==ni10limf(xi)Dxi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即第一章常用逻辑用语定积分的定义:定积分的相关名称:———叫做积分号,f(x)——叫做被积函数,f(x)dx—叫做被积表达式,x———叫做积分变量,a———叫做积分下限,b———叫做积分上限,[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy=第一章常用逻辑用语S=baf(x)dx;按定积分的定义,有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为s=bav(t)dt。Oab()vvt=tv定积分的定义:1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即第一章常用逻辑用语112001()3Sfxdxxdx===根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S=1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt==-=根据定积分的定义左边图形的面积为第一章常用逻辑用语1.dxxf)(与badxxf)(的差别3.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有==bababaduufdttfdxxf)()()(4.规定:-=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注:2.当xfiniD=)(1x的极限存在时,其极限值仅与被积函数及积分区间有关,而与区间ba,的分法及xi点的取法无关。f(x)[a,b]第一章常用逻辑用语(2)定积分的几何意义:Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时,积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地,当a=b时,有baf(x)dx=0。第一章常用逻辑用语当f(x)0时,由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,xyOdxxfSba)]([-==-,dxxfba)(.aby=f(x)y=-f(x)dxxfSba)]([-=baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义:积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S第一章常用逻辑用语aby=f(x)Oxy()ygx=探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)Oxy1()baSfxdx=()ygx=12()()bbaaSSSfxdxgxdx=-=-2()baSgxdx=第一章常用逻辑用语三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[ba=babadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kf=badx)x(fk第一章常用逻辑用语三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.=2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyaby=f(x)C第一章常用逻辑用语性质3不论a,b,c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。第一章常用逻辑用语[解]令f(x)=3x+2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n-1个分点,把区间[1,2]等分成n个小区间[n+i-1n,n+in](i=1,2,…,n)每个小区间的长度为Δx=n+in-n+i-1n=1n例1利用定积分定义,计算12(3x+2)dx的值.第一章常用逻辑用语第一章常用逻辑用语例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图①中,被积函数(,0)(]0[)(12=xfaxxf解:dxxAa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④第一章常用逻辑用语积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图②中,被积函数(,0)(]21[)(22-=xfxxf解:dxxA221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第一章常用逻辑用语积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图③中,被积函数(,0)(][1)(3=xfbaxf解:dxAba=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第一章常用逻辑用语可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义,上,在上,上连续,且在,在)在图④中,被积函数(0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42----=xfxfxxf解:dxxdxxA-----=-]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第一章常用逻辑用语成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22=-xdx例3:解:所以并有上,在上,上连续,且在,在在右图中,被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf=--=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-1第一章常用逻辑用语例4dxx-1021计算积分义知,该积分值等于解:由定积分的几何意的面积(见下图)所围及轴,曲线10,12==-=xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102=-dxx所以第一章常用逻辑用语4.∫2π0cosxdx=________.答案:0解析:如下图所示,∫2π0cosxdx=B1-B2+B3=0.0第一章常用逻辑用语5.已知ab[f(x)+g(x)]dx=12,abg(x)dx=6,求ab3f(x)dx.解:∵abf(x)dx+abg(x)dx=ab[f(x)+g(x)]dx,∴abf(x)dx=12-6=6.∴ab3f(x)dx=3abf(x)dx=3×6=18.
本文标题:1.5.3.1定积分的概念
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