现代数值计算方法—肖筱南

1现代数值计算方法习题答案习题一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E=0.005；rE=0.0102；2位有效数字.0.0490：E=0.00005；rE=0.00102；3位有效数字.490.00：E=0.005；rE=0.0000102；5位有效数字.2、解：722=3.1428……，=3.1415……，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E=3.1428-3.1415=0.0013；rE=14.3E=14.30013.0=0.00041.3、解：101的近似值的首位非0数字1=1,因此有|)(*xEr|)1(10121n=21×10-4,解之得n=5，所以n=5.4、证：)()(1)()(1)(*11**11**xxxnxExnxEnnn)(11)()(1)()(*****11****xEnxxxnxxxxnxxExErnnnnnr5、解：(1)因为204.4721……，又)(*xE|*xx|=|47.420|=0.00210.01,所以*x4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1=4,因此有|)(*xEr|)1(10421n=0.01,解之得n=3.所以，*x4.47.6、解：设正方形的边长为x,则其面积为2xy，由题设知x的近似值为*x=10cm.记*y为y的近似值，则)(20)(20)(2)(*****xExxxxxyE=0.1，2所以)(*xE=0.005cm.7、解：因为)()(*1xxnxxEnn,所以nxnExxxnxxExErnnnr01.0)()()(*.8、解：9、证：)()()(**tgtEttgtSSSEttEgtttgtSSSSEr)(22/)()(2**由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解：因为20x,41.1*0x,所以|*00xx|=21021于是有|*11xx|=|110110*00xx|=10|*00xx|=10|*22xx|=|110110*11xx|=10|*11xx|=210类推有|*1010xx|=810102110即计算到10x，其误差限为1010，亦即若在0x处有误差限为，则10x的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习题二1、解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：11114423243112→1010411101110112→11041001110112→31x,12x,13x.（2）方程组的增广矩阵为：3017232221413→247210250413→147200250413→21x,12x,2/13x.（3）适用于计算机编程计算.2、解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得611u212u113u114u3/1/112121ual6/1/113131ual6/1/114141ual第二步：计算U的第二行，L的第二列，得3/1012212222ulau3/213212323ulau3/114212424ulau5/1/)(2212313232uulal10/1/)(2212414242uulal第三步：计算U的第三行，L的第三列，得10/37233213313333ululau10/9243214313434ululau37/9/)(33234213414343uululal第四步：计算U的第四行，得370/9553443244214414444ulululau从而，3101141101421126=137/910/16/1015/16/10013/10001370/95500010/910/37003/13/23/10011264由bLY,解得Y=（6，-3，23/5，－955/370）T.由YUX,解得X=（1，-1，1，－1）T.3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a＝30,2223=20,301022123=40,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：311l33221l3622l3331l3632l233l因此，L＝23633036332003.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（335，36，2）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（0，2，1）T.（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a＝30,2223=20,1203022323=60,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：311l33221l3622l5331l632l333l因此，L＝363036332003.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（335，66，33）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（1，21，31）T.4、解：对1i,2111ad；对2i,121t,2121l,252d；对3i,131t,2732t,2131l,5732l,5273d.所以数组A的形式为：527572102521002A求解方程组LY=b.解得Y=（4，7，569）T.求解方程组DLTX=Y.解得X=（910，97，923）T.5、解：（1）设A=LU=1010000000000010010015432llll5432106000000000600006006uuuuu计算各元素得：51u,512l,1952u,1953l,19653u,65194l,652114u,211655l,2116655u.求解方程组LY=d.解得Y=（1，51，191，651，211212）T.求解方程组UX=Y.解得X=（6651509，6651145，665703，665395，665212）T.6（2）设A=LU=100100132ll321001001uuu计算各元素得：51u，512l，5242u，2453l，241153u.求解方程组LY=d.解得Y=（17，553，24115）T.求解方程组UX=Y.解得X=（3，2，1）T.6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛.（1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1kkkxxx14141)(3)(1)1(2kkkxxx329292)(2)(1)1(3kkkxxx高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1kkkxxx14141)(3)1(1)1(2kkkxxx329292)1(2)1(1)1(3kkkxxx（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1kkkxxx525351)(3)(1)1(2kkkxxx5115152)(2)(1)1(3kkkxxx高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1kkkxxx525351)(3)1(1)1(2kkkxxx75115152)1(2)1(1)1(3kkkxxx7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。(2)雅可比迭代法：写出雅可比迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1kkkxxx52141)(3)(1)1(2kkkxxx10310351)(2)(1)1(3kkkxxx取)0(x=（－3，1，1）T，迭代到18次达到精度要求,)18(x=（－3.999，2.999，1.999）T.高斯－赛德尔迭代法：写出高斯－赛德尔迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1kkkxxx52141)(3)1(1)1(2kkkxxx10310351)1(2)1(1)1(3kkkxxx取)0(x=（－3，1，1）T，迭代到8次达到精度要求,)8(x=（－4.000，2.999，2.000）T.8、SOR方法考试不考。9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：03231001100)(1ULDBJ,32310110JBI解得1)(JB,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：8100100100)(1ULDM,1001010MI求得021，13，则1)(M,所以高斯-赛德尔迭代法不收敛.10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：0212110121210)(1ULDBJ,2121112121JBI求得01，i252，i253，则1)(JB,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：434102121021210)(1ULDM,43410212102121MI求得2121，03，则1)(M,所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明：当-0.5a1时，由11aa=1-a20,111aaaaaa=(1-a)2(1+2a)0,所以A正定.雅可比迭代矩阵BJ＝000aaaaaa，所以，|BJI|=aaaaaa=)2()(232233aaaa所以，|2|)(aBJ,故当-0.5a0.5时，雅可比迭代法收敛。912、解：A＝max{0.6+0.5,0.1+0.3}=1.1；1A＝max{0.6+0.1,0.5+0.3}=0.8；FA＝09.001.025.036.0=0.8426；ATA=3.05.01.06.03.01.05.06.0=34.033.033.037.0|AAIT|=34.033.033.037.0=2－0.71＋0.0169＝0所以max(ATA)=0.685，所以2A＝685.0=0.83.13、证明：(1)由定义知,xnxxxxxxniiniiniiini1111111maxmax故xnxx1(2)由范数定义知,)()()()(21max22AAAAAAAAATnTTT211212122121FnjniijniinniiniiAaaaa221ma