换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1若𝑓(𝑥)=𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)，且∫𝑔(𝑢)𝑑𝑢的原函数容易求出，记∫𝑔(𝑢)𝑑𝑢=G(𝑢)+𝑐，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=G(𝜑(𝑥))+𝑐.证明若𝑓(𝑥)=𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)，令𝑢=𝜑(𝑥)，于是有∫𝑔(𝜑(𝑥))𝑑𝑢=G(𝜑(𝑥))+𝑐，𝑑𝑢=𝜑′(𝑥)𝑑𝑥因而∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑔(𝜑(𝑥))𝑑𝑢=G(𝜑(𝑥))+𝑐得证。1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2若𝑓(𝑥)连续，𝜑(𝑥)在[𝑎,𝑏]上一阶连续可导，且𝑓(𝑥)=𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)，𝑔(𝑢)在α和β构成的区间上连续，其中𝜑(𝑎)=𝛼，𝜑(𝑏)=𝛽，则∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=∫𝑔(𝑢)𝛽𝛼𝑑𝑢.证明令𝑢=𝜑(𝑥)，由于𝑔(𝑢)在α和β构成的区间上连续，记∫𝑔(𝑢)𝑑𝑢=G(𝑢)+𝑐，则∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=∫𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=G(𝜑(𝑥))|𝑎𝑏=G(𝑢)|𝛼𝛽=∫𝑔(𝑢)𝛽𝛼𝑑𝑢得证。1.3第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：第一换元法在定积分中对未知量𝑥给出了定义范围，要求换元函数𝜑(𝑥)在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数𝑓(𝑥)的任意一个原函数F(𝑥)，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1求∫𝑥√1+𝑥210𝑑𝑥.解因为∫𝑥√1−𝑥2𝑑𝑥=−12∫𝑑(−𝑥2)√1−𝑥2=−12∫𝑑(1−𝑥2)√1−𝑥2=−12∙2(1−𝑥2)12+C=−(1−𝑥2)12+C即𝑥√1−𝑥2有一个原函数−(1−𝑥2)12，所以∫𝑥√1−𝑥210𝑑𝑥=−(1−𝑥2)12|01=1.例2计算积分∫cos(3𝑥+5)𝜋20𝑑𝑥.解由于∫cos(3𝑥+5)𝑑𝑥=13∫cos(3𝑥+5)𝑑(3𝑥+5)=13sin(3𝑥+5)+𝐶,于是∫cos(3𝑥+5)𝜋20𝑑𝑥=13sin(3𝑥+5)|0𝜋2=13sin(3𝜋2+5)−13sin5.2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3设𝑓(𝑥)连续，𝑥=𝜑(𝑡)及𝜑‘(𝑡)都连续，𝑥=𝜑(𝑡)的反函数𝑡=𝜑−1(𝑥)存在且连续，并且∫𝑓(𝜑(𝑡))𝜑‘(𝑡)𝑑𝑡=𝐹(𝑡)+𝑐，（1）则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝜑−1(𝑥))+𝑐（2）证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得𝑑𝑑𝑥[𝐹(𝜑−1(𝑥))+𝑐]=𝐹′(𝑡)∙[𝜑−1(𝑥)]′=𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑‘(𝑡)∙1𝜑‘(𝑡)=𝑓(𝑥)，这便证明了（2）式。2.2定积分中第二换元法的定理形式定理4设𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]连续，作代换𝑥=𝜑(𝑡)，其中𝜑(𝑡)在α和β构成的区间上有连续导数𝜑‘(𝑡)，且𝜑(𝛼)=𝑎，𝜑(𝛽)=𝑏，则∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=∫𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑‘(𝑡)𝑑𝑡𝛽𝛼.证明设𝐹(𝑥)是𝑓(𝑥)的一个原函数，则𝐹(𝜑(𝑡))是𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑‘(𝑡)的一个原函数。于是∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)，∫𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑‘(𝑡)𝑑𝑡𝛽𝛼=𝐹[𝜑(𝛽)]−𝐹[𝜑(𝛼)]=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎).定理得证。2.3第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换𝑥=𝜑(𝑡)的反函数存在且连续，并且𝜑‘(𝑡)≠0。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量𝑡的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3用第二换元法求解∫𝑥√1−𝑥210𝑑𝑥解令𝑥=cos𝑡，于是d𝑥=−sin𝑡𝑑𝑡，其中t∈[3𝜋2,2𝜋]，则∫𝑥√1−𝑥210𝑑𝑥=∫cos𝑡√1−(cos𝑡)22𝜋3𝜋2(−sin𝑡)𝑑𝑡=∫cos𝑡(−sin𝑡)2𝜋3𝜋2(−sin𝑡)𝑑𝑡=∫cos𝑡2𝜋3𝜋2𝑑𝑡=sin𝑡|3𝜋22𝜋=1.