粗糙集理论的基本概念课件

人的分类能力是对事物的认识能力，是一种知识。从认知科学的观点来理解知识，知识可以被理解为对事物的分类能力及知识的分类能力可用知识系统的集合表达形式来描述。知识在不同的范畴中有许不同的含义。粗糙集理论认为，知识直接与真实或抽象世界的不同分类模式联系在一起。知识被看作是关于论域的划分，是一种对对象进行分类的能力。第2章粗糙集理论的基本概念2.1知识与知识库定义1.1（知识和概念（范畴或信息粒））设U是给定研究对象的非空有限集合，称为一个论域。论域U的任何一个子集XU，称为论域U的一个概念或范畴。论域U的一个划分{X1,X2,…,Xn}（概念簇）称为关于U的抽象知识，简称知识。为了规范化，我们认为空集也是一个概念，称为空概念。在粗糙集理论中，主要讨论的是那些能够在论域U上形成划分或覆盖的知识。我们知道U的划分{X1,X2,…,Xn}与U上的等价关系R一一对应，即给定U的一个划分{X1,X2,…,Xn}等同于给定U上的一个等价关系R，从数学的角度讲，关系的表示和处理比分类的表示和处理简单得多，因此，我们通常用等价关系或关系来表示分类及知识。因此知识也可以定义为，设R是U上的一个等价关系，U/R={X1,X2,…,Xn}表示R产生的分类，称为关于U的一个知识。通常情形下，我们在问题求解的过程中，处理的不是论域U上的单一划分（知识或分类），而是论域U上的一簇划分，这导致了知识库的概念。定义1.2（知识库)U为给定的一个论域，S是U上的一簇等价关系，称二元组K=（U,S）是关于论域U上的一个知识库或近似空间。因此，论域上的等价关系就代表着划分和知识。这样，知识库就表示了论域上的由等价关系（这里指属性特征及其有限个的交）导出的各种各样的知识，即划分或分类模式，同时代表了对论域的分类能力，并隐含着知识库中概念之间存在的各种关系。(),[][][](2.1)INDPPRRPxUxxx定义2.3（不可分辨关系（不分明关系））给定一个论域U和U上的一簇等价关系S，若PS,且P≠，则P(P中所有等价关系的交集）仍然是论域U上的一个等价关系，称为∩P上的不可分辨关系，记为IND(P)，也常简记为P。而且，这样，U/IND(P)={[x]IND(P)|xU}表示与等价关系IND(P)相关的知识，称为知识库K=(U,S)中关于论域U的P-基本知识（P-基本集)。在不可能产生混淆的情况下，即P,U和K都明确时，为了简便，我们可用P代替IND(P)。用U/P代替U/IND(P)，IND(P)的等价类也称为知识P的基本概念或基本范畴。事实上，P基本范畴拥有知识P的论域的基本特征，换句话说，他们是知识的基本模块。特别地，如果QS,则称Q是关于论域U的Q-初等知识，Q的等价类为知识S的Q初等概念或初等范畴。我们用IND(K)={IND(P)|≠PS}表示知识库K=(U,S)中所有等价关系，他对于集合的交运算是封闭的。任意有限个P-基本范畴的并，称为P-范畴；知识库K=(U,S)中所有的范畴称为K-范畴。定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和K2=(U,S2)为两个知识库，如果IND(S1)=IND(S2)，即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等价的，记为K1K2或者S1S2。因此当两个知识库有同样的基本范畴集时，这两个知识库中的知识都能使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这就意味着可以用不同的属性集对论域的对象进行描述，以表达关于论域完全相同的知识。如果IND(S1)IND(S2)，我们称知识库K1（知识S1）比知识库K1（知识S2）更精细，或者说K2（知识S2）比K1（知识S1）更粗糙。当S1比S2更精细时，我们也称S1为S2的转化，或S2为S1的泛化。泛化意味着将某些范畴组合在一起，而特化则是将范畴分割成更小的概念。如果上述两种情形都不满足，则称两个知识库不能比较粗细。1282.1,,,...,(2.1.Uxxx例给定一玩具积木的论域并假设这些积木有不同的颜色红、黄、蓝），形状（方形、圆形、三角形），体积（小、大），见表因此，这些积木都可以用颜色、形状、体积这些知识来描述，例如一块积木可以是红色、小而圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据某一属性描述这些积木的情形，就可以按颜色、形状或体积分来。表2.1积木的信息表U(积木)R1(颜色）R2（形状)R3（体积）X1X2X3X4X5X6X7X8红蓝红蓝黄黄红黄圆形方形三角形三角形圆形方形三角形三角形小大小小小小大大137245681526347827813456123;,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxRRR解：按颜色分类：红，，蓝，；黄，，。按形状分类：圆形，；方形，；三角形，，，。按体积分类：大，，；小，，，，。换言之，三个属性定义了三个等价关系：颜色形状，体积，通过这些等价关系，可以得到下面用集合表示的论域的不同划分。11372456821526347832781345612313734783/{{,,}{,}{,,}}/{{,}{,}{,,,}}/{{,,}{,,,,}}(,{,,})1{,,}{,,,}{,URxxxxxxxxURxxxxxxxxURxxxxxxxxKURRRxxxxxxxx，，。，，。，。这些等价类构成知识库中的初等概念(初等范畴)。基本范畴是由初等范畴的交集构成的，例如：（）724262},2{,}{,}{},xxxxxx（）56834788121323137347827872426278256833{,,}{,,,}{}.{,}{,}{,}(4){,,}{,,,}{,,}{}5{,}{,}{,,}{}6{,,}{,xxxxxxxxRRRRRRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（）它们分别表示的基本范畴：红色三角形，蓝色方形，黄色三角形。同样，任何一个人可以得到知识或的基本范畴。（）（）4782788123,,}{,,}{}{,,}xxxxxxRRR它们分别表示知识的基本范畴：红色三角形，蓝色大方形，黄色大三角形。137241234724568245681375681356787,,,,,,,,8,,,,,,,,9,,,,,,,,,.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx下面考虑概念的组合：（）（）（）123{}{}{}RRR它们分别表示知识的初等范畴：红或蓝(非黄)，蓝或黄(非红)，红或黄(非蓝)。同样，通过分类我们可以获得知识和的初等范畴。24151372610{,}{,},11{,,}{,}.xxxxxxxxx注意：有些范畴在这个知识库中是无法得到的，例如：（）（）这也就是说，在这个知识库中不存在蓝色圆形和红色方形的范畴，它们是空范畴。上述方法是利用集合的交合并运算来获取知识库的概念，也可以直接利用不可分辨关系来直接获取知识概念。11231372456821526347832781345612132312123/{{,,},{,},{,,}}./{{,},{,},{,,,}}./{{,,},{,,,,}}.{,}{,}{,}/{,}{{},{},{,RRRURxxxxxxxxURxxxxxxxxURxxxxxxxxRRRRRRURRxxxx关于颜色，形状，体积的初等范畴：关于颜色形状，颜色体积，形状体积的基本范畴：7456813132456782315234678},{},{},{},{}}./{,}{{,},{},{}{,},{},{}}./{,}{{,},{},{,}{},{,}}.xxxxURRxxxxxxxxURRxxxxxxxx12312312345678{,,}/{,,}{{},{},{},{},{},{},{}{}}.RRRURRRxxxxxxxx关于颜色形状体积的基本范畴：上述概念是这个知识库中所有可定义的概念，它们是在求解相关问题时可利用的知识基础。类似地，我们可以讨论更复杂的知识库。1123212123451132452123453142352.2(,{,,})(,{,}){,,,,}/{{,},{,,}},/{{},{,,,}},/{{,},{,},{}}.KURRRKURRUxxxxxURxxxxxURxxxxxURxxxxx例给定两个知识库和，其中论域，且试分析这两个知识库的粗细关系。3312345112213245113121/()[]{{},{},{},{},{}},/()[]{{},{},{,,}}./()/()iiiRiiiRiiiiiiUINDRxxxxxxUINDRxxxxxxUINDRUINDR解：因为显然，对于中任意一个元素，都能在中找到一个元素，使得前者包含或真包含于后者，3121321132111212/()/()/()/(),/()/(),2.4iiiiiiiiiiiiUINDRUINDRUINDRUINDRUINDRUINDRKKKK换句话说，的商集中的每一个元素都是的商集中某一个元素的子集或真子集。由此可得当然，所以根据定义可知，知识库与知识库不等价，且知识库比知识库更细。2.2粗糙集的基本定义及其性质2.5((,)()(){|()([])}{|(/)()},(2.2)(){|()([])}{|(RRKUSUSUXUURINDKXRRXXxUxXYYURYXRXXxUxXYY定义集合的下近似和上近似)给定知识库(近似空间)，其中，为论域，表示论域上的等价关系簇，则和论域上的一个等价关系，我们定义子集(概念或信息粒)关于知识的下近似和上近似分别为/)()},(2.3)URYX()()()()()()()()()().()()()RRRRRRbnXRXRXXRposXRXXRnegXURXXRRXposXbnXRXposXRXURXRXU集合称为的边界域；称为的正域；称为的负域。显然，下近似或正域是由哪些根据指示判断肯定属于的论域中元素组成的集合；上近似是由那些根据知识判断肯定属于或可能属于的论域中元素组成的集合；()()2.1RRRbnXRXXURnegXRXUX边界域是由那些根据知识既不能判断肯定属于又不能判断肯定不属于的论域中元素组成的集合；负域是那些根据知识判断肯定不属于的论域中元素组成的集合。集合的上近似、下近似和边界域可用图来表示。2.6,()()()()RURXURXRXXURRRRXRXXURRRRRRUR定义（粗糙集和精确集）给定论域和其上的一个等价关系，若，称集合是关于论域的相对于知识的精确集或可定义集；若，则称集合是关于论域的相对于知识的粗糙集或不可定义集。事实上，任意有限个基本范畴的并，统称为精确集或可定义集，当论域和明确时，可简称为精确集或可定义集。(,)()()KUSRINDKXRXKRRURINDKXRXK在知识库中，当存在等价关系，使得是精确集，则称是知识库中的精确集或可定义集。精确集能够表达成某些基本范畴的并，它是论域的子集。当，都是粗糙集，则称是知识库中的粗糙集或不可定义集。()RXXX对于粗糙集而言，它的下近似描述了包含在中的最大的可定义集，上近似描述了包含的最小的可定义集。这样，范畴就是可以用已知知识表达的信息项。换句话讲，范畴就是用我们的知识可表达的具有相同性质的对象的子集。一般地，在给定的知识库中，并不是所有对象子集都可以构成范畴。因此，这样的子集可视为粗范畴(即不精确或近似范畴)，它只能用知识通过两个精确范畴，即上近似和下近似集，粗糙地定义。2.11()()2()(),()()3()()()4()()()5()()6()()7()()()8()()()RXXRXRRRURUURXYRXRYRXYRXRYXYRXRYXYRXRYRXYRXRYRXYRXRY