专题24-平面向量中最值、范围问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版).

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板：第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.例1设M是△ABC内一点，且23ABAC，30BAC，定义()(,,)fMmnp，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若1()(,,)2fMxy，则14xy的最小值是（）A．8B．9]C．16D．18例2如右图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与,ABAC两边分别交于,NM两点，且,AMxABANyAC，则2xy的最小值为（）A．2B．13C．3223D．34【变式演练1】如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与,ABAC两边分别交于,MN两点，且,AMxABANyAC,则xy的最小值为（）CMNABGQA．2B．13C．43D．34【变式演练2】已知点A（1,1），B（4,0），C（2,2）．平面区域D由所有满足APABAC（1≤≤a，1≤≤b）的点P（x,y）组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为．【变式演练3】平行四边形ABCD中，60,1,2,BADABADP为平行四边形内一点，且22AP，若),(RADABAP，则2u的最大值为．方法二利用向量的数量积mnmn求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论.例3已知OAB的顶点坐标为(0,0)O，(2,9)A，(6,3)B，点P的横坐标为14，且OPPB，点Q是边AB上一点，且0OQAP.（1）求实数的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求()RORARB的取值范围.【变式演练4】已知向量,ab不共线，t为实数．[来源:学科网ZXXK]（Ⅰ）若OAa，OBtb，1()3OCab，当t为何值时，,,ABC三点共线；（Ⅱ）若||||1ab，且a与b的夹角为120，实数1[1,]2x，求||axb的取值范围．【变式演练5】若直线10()axyaaR与圆224xy交于A、B两点（其中O为坐标原点），则AOAB的最小值为（）A．1B．2C．3D．4方法三建立直角坐标系法使用情景：一般向量求最值或取值范围类型解题模板：第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步将平面向量数量积的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例3在ABC中，O为中线AM上一个动点，若2AM，则()OAOBOC的最小值是__________.例4在RtABC中,BCa,若长为2a的线段PQ以A点为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.【变式演练6】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练7】在平面上，121212,1,ABABOBOBAPABAB．若12OP，则OA的取值范围是（）A．25,0B．27,25C．2,25D．7,22【高考再现】1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC,DADB=DBDC=DCDA=-2，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是()（A）434（B）494（C）37634（D）3723342．【2016高考浙江理数】已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜6,则a·b的最大值是．3.【2015高考福建，理9】已知1,,ABACABACtt，若P点是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC，则PBPC的最大值等于（）A．13B．15C．19D．214.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BEBCDFDC则AEAF的最小值为.5.【2015高考浙江，理15】已知12,ee是空间单位向量，1212ee，若空间向量b满足1252,2bebe，且对于任意,xyR，12010200()()1(,)bxeyebxeyexyR，则0x，0y，b．6.【2015高考湖南，理8】已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为（）A.6B.7C.8D.97.【2015高考上海，文13】已知平面向量a、b、c满足ba，且}3,2,1{|}||,||,{|cba，则||cba的最大值是.[来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]【反馈练习】1．【2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学试卷，理15】已知AD是ABC的中线，(,)ADABACR，0120,2AABAC，则||AD的最小值是.2.【2017届浙江名校协作体高三上学期联考数学试卷，理15】已知点1,0Am，1,0Bm，若圆C:2288310xyxy上存在一点P，使得0PAPB，则正实数．．．m的最小值为．3．【2017届山西大学附中高三二模测试数学试卷，理15】在直角梯形,,DC//AB,ADDC1,AB2,E,FABCDABAD分别为,ABAC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R，则2的取值范围是___________．4．【2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷理科数学试卷，理14】已知(1,0)A，曲线:Ceaxy恒过点B，若P是曲线C上的动点，且ABAPuuuruuur的最小值为2，则a.5．【2016届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试卷，理16】在平面直角坐标系xOy中，设点(10)A，，(01)B，，()Cab，，()Dcd，，若不等式2(2)()()CDmOCODmOCOBODOA≥对任意实数abcd，，，都成立，则实数m的最大值是．6．【016届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷，理14】在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OPBP的最小值是．7．【2016届江苏省扬州中学高三3月质量检测数学试卷，理15】平行四边形ABCD中，60,1,2,BADABADP为平行四边形内一点，且22AP，若),(RADABAP，则2u的最大值为．8．【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考数学试卷，文15】已知向量、、满足1，，()()0．若对每一确定的，的最大值和最小值分别是mn、，则对任意，mn的最小值是．9．【2014-2015学年江苏省盐城市高一下学期期末考试数学试卷，理14】已知正方形ABCD的边长为1，直线MN过正方形的中心O交边,ADBC于,MN两点，若点P满足2(1)OPOAOB（R），则PMPN的最小值为．10.【2016届江苏省泰州中学高三上学期第二次月考数学试卷，理18】设ABC是边长为1的正三角形，点321,,PPP四等分线段BC（如图所示）．（1）求112ABAPAPAP的值；（2）Q为线段1AP上一点，若112AQmABAC，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当PAPC取最小值时，求PABcos的值．