【红对勾】人教A版高中数学必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义-[-高考]

第二章平面向量系列丛书进入导航第二章平面向量RJA版·数学·必修4第二章平面向量系列丛书进入导航2．4平面向量的数量积第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义.2.会用向量数量积的公式解决相关问题.3.记住数量积的几个重要性质.学习目标第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4重点：数量积的含义及公式；难点：数量积的重要性质.重点难点第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4预习篇01新知导学第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(1)已知两个向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．(2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的向量数量积的定义及几何意义非零数量积(或内积)投影．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(3)零向量与任一向量的数量积为.(4)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．0第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答：向量的数量积a·b是一个实数，数乘向量λa仍是一个向量．2．a在b方向的投影和b在a方向的投影是否相同呢？答：不一定．a在b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝a·b|a|.所以当|a|＝|b|时，上述两个投影相同；|a|≠|b|时，上述两个投影不同．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修43．两非零向量的数量积的正负由谁决定？有几种情况？答：两非零向量的数量积由两向量的夹角θ决定．当θ为锐角时，a·b0，且a·b≠|a||b|；当θ为钝角时，a·b0且a·b≠－|a||b|；当θ＝0°时，a·b＝|a||b|；当θ＝180°时，a·b＝－|a||b|；当θ＝90°时，a·b＝0.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修44．对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a一定成立吗？答：不一定成立．∵若(a·b)c≠0，其方向与c相同或相反，而(b·c)a≠0时，其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修45．向量的和差如何再进行数量积运算？答：把性质(a＋b)·c＝a·c＋b·c进行拓展，用向量c＋d代换c，即(a＋b)·(c＋d)＝a·(c＋d)＋b·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d，所以向量的和差再进行数量积运算，和多项式的乘法一样．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4设a，b为非零向量，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)a，b同向时，a·b＝|a||b|；a，b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)|a|＝|a|2＝a2＝a·a.(4)|a·b||a||b|.数量积的几个性质≤第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修46．a·b＝0时，a＝0或b＝0吗？答：不一定，当a⊥b时，也有a·b＝0.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．详析平面向量的数量积(1)a·b表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定．(2)符号“·”在数量积运算中既不能省略，也不能用“×”代替．(3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角θ的取值范围是：0°≤θ≤180°.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(4)投影也是一个数量，可正，可负，可为0；当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0.(5)注意：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，应结合图形严格区分．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．细解数量积的性质及应用对于性质(1)，主要涉及单位向量的运算，其意义是任何一个向量与单位向量的数量积就是这个向量在单位向量上的投影．对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直．对于性质(3)，给出了一个求向量模的方法，即一个向量的模等于它与自身数量积的算术平方根．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4对于性质(4)，给出了求两个向量夹角的方法，体现了向量与三角函数的联系．对于性质(5)，这是一个与不等式有关的性质，可以用来证明不等式或用来求有关函数的最值.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4课堂篇02合作探究第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．向量数量积的运算及几何意义第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼1.已知向量a，b的模及它们的夹角可求(x1a＋x2b)·(x3a＋x4b)的数量积，反之知道(x1a＋x2b)·(x3a＋x4b)的数量积及a，b的模则可求a与b的夹角．2．求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4设非零向量a和b，它们的夹角为θ.(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：(1)a在b方向上的投影为|a|cosθ＝5cos150°＝－532，a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－103.(2)b在a方向上的投影为|b|cosθ＝a·b|a|＝96＝32.∵cosθ＝a·b|a||b|＝96×3＝12，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例2】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)|a－b|；(2)|3a＋b|；(3)|a－2b|.有关向量的模的问题第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)|a－b|＝a－b2＝a2＋b2－2a·b＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.(2)|3a＋b|＝3a＋b2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4－6×3＋9＝33.(3)|a－2b|＝a－2b2＝a2－4a·b＋4b2＝4＋12＋36＝213.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：因为|2a－b|＝10，所以(2a－b)2＝10，即4|a|2－4a·b＋|b|2＝10，所以4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，整理得|b|2－22|b|－6＝0，解得|b|＝32或|b|＝－2(舍去)．故填32.答案：32第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|＝________.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：因为|3a－2b|＝3，所以|3a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b＋4b2＝9，所以9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，又因为|a|＝|b|＝1，所以9－12a·b＋4＝9，a·b＝13，|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2，＝9＋6×13＋1＝12，第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4所以|3a＋b|＝23.答案：23第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例3】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．【分析】根据模长的关系，利用两向量的夹角公式计算．有关向量的夹角问题第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝12|a|2，而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝3|a|.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|＝|a|2＋12|a|2|a|·3|a|＝32.∴θ＝30°.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为60°，得m·n＝12.∵|a|＝|2m＋n|＝2m＋n2＝4m2＋4m·n＋n2＝7.|b|＝2n－3m2＝4n2－12m·n＋9m2＝7.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝2m＋n2n－3m7＝m·n＋2n2－6m27＝12＋2－67＝－12.∴〈a，b〉＝120°.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？【分析】利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．有关向量的垂直问题第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝1415，即k为1415时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．第二章·2.4·2.4.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：由已知条件得a＋3b·7a－5b＝0，a－4b·7a－2b＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，7a2－30a·b＋8b2＝0.①②②