海龟种群和PageRank

理学院数学系仝辉《数学建模与模拟》与线性代数知识相关的几个简单模型内容要点生态学：海龟种群统计数据互联网：Google搜索引擎的PageRank生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。在每一阶段估计出存活一年的概率，还有每一年产卵的概率，如下表所示。海龟种群动态的四阶段模型阶段说明（年龄）每年存活率每年产卵数1卵，孵化（1）0.6702未成年（1-21）0.7403无经验繁殖期（22）0.811274成熟繁殖期（23-54）0.8179符号如果di表示第i个阶段的持续时间，si表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i阶段可以存活到下一年的比例是111iidiiidispss种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是11iidiiidissqs如果用ei表示第i阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵1234122334000000peeeqpLqpqpLeslie（莱斯利）矩阵那么L可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie（莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是00127790.670.73940000.000600000.810.8077LK年后的种群数假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617xLx（这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L乘一次。2210xLxLx一般来说，k年后的种群数由公式0kkxLx给出。利用模型进行预测为了了解更长时期的趋势，计算出x10、x25和x50，如下表所示。海龟种群阶段初始种群10年25年50年120000011426474039359662300000329212213669103795350021413968415001061687334这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。讨论海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？互联网：Google搜索引擎的PageRankGoogle使用PageRank™技术检查整个网络链接结构，并确定哪些网页重要性最高。然后进行超文本匹配分析，以确定哪些网页与正在执行的特定搜索相关。在综合考虑整体重要性以及与特定查询的相关性之后，Google可以将最相关最可靠的搜索结果放在首位。PageRank技术：通过对由超过50,000万个变量和20亿个词汇组成的方程进行计算，PageRank能够对网页的重要性做出客观的评价。PageRank并不计算直接链接的数量，而是将从网页A指向网页B的链接解释为由网页A对网页B所投的一票。这样，PageRank会根据网页B所收到的投票数量来评估该页的重要性。投票：不只注重数量，同时考虑“质量”PageRank还会评估每个投票网页的重要性，因为某些网页的投票被认为具有较高的价值，这样，它所链接的网页就能获得较高的价值。重要网页获得的PageRank（网页排名）较高，从而显示在搜索结果的顶部。Google技术使用网上反馈的综合信息来确定某个网页的重要性。搜索结果没有人工干预或操纵，这也是为什么Google会成为一个广受用户信赖、不受付费排名影响且公正客观的信息来源。“从许多优质的网页链接过来的网页,必定还是优质网页”。可以在。您查询的页面地址：页面评定结果：您查询的页面地址：页面评定结果：网页局部链接图例网页链接表反向链接源结点正向链接目标2，3，5，612，3，4，5，71，3，4211，4，531，21，542，3，51，4，6，751，3，4，6561，5175邻接矩阵A=0111101100000011000000110100101101010001000000100转移概率矩阵将邻接矩阵转置后再按列单位化M=010.500.250.500.200.50.330000.2000.330.25000.20000.25000.2000.3300.5100000.25000.2000000将各个网页的PR记作xi，记x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T，则应有Mx=x。为什么？计算PageRankA=[0111101100000011000000110100101101010001000000100];M=A';M=M*inv(diag(sum(M)));[V,D]=eig(M);disp('PageRank:');disp(V(:,1));PageRank:0.69950.38290.32400.24300.41230.10310.1399讨论Matlab中eig函数使用的算法在大规模矩阵（100亿阶矩阵）运算时，不可行，如何解决此困难？可以使用幂法（x(k+1)=Mx(k)）求解M的对应于特征值1的特征向量，即PageRank。x=ones(7,1);x=x/norm(x);n=50;fori=1:nx(:,i+1)=M*x(:,i);enddisp('PageRank:');y=x(:,n+1);y=y/norm(y);disp(y);PageRank:0.69950.38290.32400.24300.41230.10310.1399讨论海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？