系统聚类分析的理论

聚类分析基本原理及其案例一、相似度的测量聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。1.1样品相似性的度量在聚类分析之前，首先要分析样品间的相似性。Q型聚类分析，常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标（变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如果把这n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间的相似程度就可用p维空间中的亮点距离公式来度量。两点距离公式可以从不同角度进行定义，令ijd表示样品iX与jX的距离，存在以下的距离公式。1.1.1闵科夫斯基距离1/1()(||)pqqijikjkkdqXX闵科夫斯基距离又称闵氏距离，按q值的不同又可分成1）绝对距离（1q）1(1)||pijikjkkdXX2）欧几里得距离（2q）21/21(2)(||)pijikjkkdXX3）切比雪夫距离（q）1()max||ijikjkkpdXX欧几里得距离较为常用，但在解决多元数据的分析问题时，他就显得不足。一是他没有考虑到总体变异对“距离”远近的影响，显然一个变异程度大的总体可能与更多样品近些，即使他们的欧几里得距离不一定最近；另外，欧几里得距离收到变量的量纲影响，这对多元数据的处理时不利的。为了克服这方面的不足，可用“马氏距离“的概念。1.1.2马氏距离设iX与jX是来自均值向量为μ，协方差为Σ（0）的总体G中的p维样品，则两个样品间的马氏距离为21()()'()ijijijdMXXΣXX马氏距离又称为广义欧几里得距离。显然，马氏距离与上述各种距离的主要不同时它考虑了观测变量之间的关联性。如果各变量之间相互独立，即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵，则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为加权数的加权欧几里得距离。马氏距离还考虑了观测变量之间的变异性，不再受各指标量纲的影响。将原始数据做线性变换后，马氏距离不变。1.1.3兰氏距离1||1()pikjkijkikjkXXdLpXX它仅适用于一切0ijX的情况，这个距离也可以克服各个指标之间量纲的影响。这是一个自身标准化的的量，由于它对奇异值不敏感，它特别适合用于高度偏倚的数据。虽然这个距离有助于克服闵氏距离的第一个缺点，但它也没有考虑指标之间的关联性。1.1.4距离选择的原则一般来说，同一批数据采用不同的距离公式，会得到不同的分类结果。产生不同结果的原因，主要是由于不同的距离公式的侧重点和实际意义都有不同。因此，我们在进行聚类分析时，应该注意距离公式的选择。通常选择距离公式应注意遵守以下的基本原则：1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧几里得距离就有非常明确的空间距离概念，马氏距离有消除量纲影响的作用。2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，通常就可采用欧几里得距离。3）要考虑研究对象的特点及计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同作出具体分析。实际中，聚类分析前不妨试探性的多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最适合的距离测度方法。1.2变量相似性的度量多元数据中的变量表现形式为向量形式，在几何上可用多维空间中的一个有向线段表示。在对多元数据进行分析时，相对于数据的大小，我们更多地对变量的变化趋势或者方向感兴趣。因此，变量间的相似性，我们可以从他们的方向趋同性或“相关性”进行考察，从而得到“夹角余弦法”和“相关系数”两种度量方法。1.2.1夹角余弦两变量iX与jX看作p维空间的两个向量，这两个向量间的夹角余弦可用下式进行计算12211cos()()pikjkkijppikjkkkXXXX显然，|cos|1ij。1.2.2相关系数相关系数经常用来度量变量间的相似性。变量iX与jX的相关系数定义为12211()()()()pikijkjkijppikijkjkkXXXXrXXXX显然也有，||1ijr。无论是夹角余弦还是相关系数，他们的绝对值都小于1，作为变量近似性的度量工具，我们把他们统计为ijc。当||1ijc时，说明变量iX与jX完全相似；当||ijc趋近于1时，说明变量iX与jX非常密切；当||0ijc时，说明变量iX与jX完全不一样；当||ijc趋近于0时，说明变量iX与jX差别很大。据此，我们把比较相似的变量聚为一类，把不太相似的变量归到不同的类内。在实际聚类过程中，为了计算方便，我们把变量间相似性的度量公式作一个变换为1||ijijdc或者221ijijdc用ijd表示变量间的距离远近，ijd小则iX与jX先聚成一类，这比较符合人们的一般思维习惯。二、系统聚类分析法2.1系统聚类的基本思想系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总共有n个样品（或变量），第一步将每个样品（或变量）独自聚成一类，共有n类；第二步根据所确定的样品（或变量）“距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量）聚合成一类，其他的样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n-1类；第三步将“距离”最近的两个类进一步聚成一类，共聚成n-2类；……以上步骤一直进行下去，最后将所有的样品（或变量）聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚类过程，可以把整个分类系统地画成一张谱系图。所以有时系统聚类也称为谱系分析。2.2类间距离与系统聚类法在进行系统聚类之前，我们首先要定义类与类之间的距离，由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚类法。常用的类间距离定义有8种之多，与之相应的系统聚类法也有8种，分别为最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平均法、可变类平均法、可变法和离差平方和法。他们的归类步骤基本上是一致的，主要差异是类间距离的计算方法不同。以下用ijd表示样品iX与jX之间距离，用ijD表示类iG与jG之间的距离。2.2.1最短距离法定义类iG与jG之间的距离为两类最近样品的距离，即为,miniijjijijXGXGDd设类pG与qG合并成一个新类记为rG，则任一类kG与rG的距离为,,,minmin{min,min}min{,}ikjrikjpikjqkrijXGXGijijXGXGXGXGkpkqDdddDD最短距离法进行聚类分析的步骤如下：（1）定义样品之间的距离，计算样品的两两距离，得一距离阵记为(0)D，开始每个样品自成一类，显然这时ijijDd。（2）找出距离最小元素，设为pqD，则将pG和qG合并成一个新类，记为rG，即{,}rpqGGG。（3）按上式计算新类与其他类的距离。（4）重复（2）、（3）两步，知道所有元素并成一类为止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些最小元素的类可以同时合并。2.2.2最长距离法定义类iG与jG之间的距离为两类最远样品的距离，即为,maxipjqpqijXGXGDd最长距离法与最短距离法的并类步骤完全一样，也是将个各样品先自成一类，然后将距离最小的两类合并。将类pG和qG合并为rG，则任一类kG与rG的类间距离公式为,,,maxmax{max,max}max{,}ikjrikjpikjqkrijXGXGijijXGXGXGXGkpkqDdddDD再找距离最小两类并类，直至所有的样品全归为一类为止。可以看出，最长距离法与最短距离法只有两点不同：一是类之间的距离定义不同；另一是计算新类与其他类的距离所用的公式不同。2.2.3中间距离法最短、最长距离定义表示都是极端情况，我们定义类间距离可以既不采用两类之间最近的距离也不采用两类之间最远的距离，而是采用介于两者之间的距离，称为中间距离法。中间距离将类pG和类qG合并为类rG，则任意的类kG与rG的距离公式为22221122krkpkqpqDDDD，104设kqkpDD，如果采用最短距离法，则krkpDD，如果采用最长距离法，则krkqDD。如图所示，上式就是取它们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算krD的根据。特别当14，它表示取中间点算距离，公式为222111224krkpkqpqDDDD2.2.4重心法重心法定义类间距离为两类重心（各类样品的均值）的距离。中心指标对类有很好的代表性，但利用各样本的信息不充分。设pG和qG分别有样品pn，qn个，其重心分别为pX和qX，则pG和qG之间的距离定义为pX和qX之间的距离，这里我们用欧几里得距离来表示，即2()()pqpqpqDXX'XX设将pG和qG合并为rG，则rG内样品个数为rpqnnn，它的重心是1()rpqpqrXnXnXn，类kG的重心是kX，那么依据上式它与新类的距离是22222pqpqkrkpkqpqrrrnnnnDDDDnnn这里我们应该注意，实际上上式表示的类kG与新类rG的距离为2222()()11[()]'[()]1'2'2'('2')krkrkrkpqkpqpqpqrrpqkpqppqqkkkpppqqqrrrDXX'XXXnXnXXnXnXnnnnXXXXXXnXXnnXXnXXnnn利用1'('')kkkkpkqkrXXnXXnXXn代入上式，有22222pqpqkrkpkqpqrrrnnnnDDDDnnn2.2.5类平均法类平均法定义类间距离平方为这两类元素两两之间距离平方的平均数，即为221ipjqpqijXGXGpqDdnn设聚类的某一步将pG和qG合并为rG，则任一类kG与rG的距离为22222211()ikjrikjpikjqkrijXGXGkrijijXGXGXGXGkrpqkpkqrrDdnnddnnnnDDnn类平均的聚类过程与上述方法完全类似，这里就不再详述了。2.2.6可变类平均法由于类平均法没有反映出pG和qG之间的距离pqD的影响，因此将类平均法进一步推广，如果将pG和qG合并为rG，类kG与新并类rG的距离公式为2222(1)()pqkrkpkqpqrrnnDDDDnn其中，是可变的且1，称这种系统聚类法为可变类平均法。2.2.7可变法针对于中间法而言，如果将中间法的前两项的系数也依赖于，那么如果将pG和qG合并为新类rG，类kG与新并类rG的距离公式为22221()2krkpkqpqDDDD其中，是可变的且1。显然在可变类平均法中取12pqrrnnnn，即为可变法。可变类平均法与可变法的分类效果与的选择关系很大，在实际应用中常取负值。2.2.8离差平方和法该方法是Ward提出来的，所以又称为Ward法。该方法的基本思想来自于方差分析，如果分类正确，同类样品的离差平方和应该较小，类与类的离差平方和较大。具体做法是先将n个样品各自成一类，然后每次缩小一类，每缩小一类，离差平方和就要增大，选择使方差增加最小的两类合并，直到所有的样品归为一类为止。设将n个样品分成k类12,,,kGGG…,用itX表示tG中的第i个样品，tn表示tG中样品的个数，tX是tG的重心，则tG的样品离差平方和为1()'()tntttititiSXXXX如果pG和qG合并为新类rG，类内离差平方和分别为1()'()pnpppipipiSXXXX1()'()qnqqqiqiqiSXXXX1()'()rnrrriririSXXXX它们反映了各自类内样品的分散程度，如果pG和qG这两类相距较近，则合并后所增加的离散平方和rpqSSS应较小；否则，应较大。于是定义pG和qG之间的平方距离为2pqrpqDSSS其中，rpqGGG，