相似矩阵的有关性质及其应用

相似矩阵的有关性质及其应用作者王国强数学系数学与应用数学专业指导教师金银来数学系教授摘要若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值Abstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatrix.Forexample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatrix;Jordan’snormalform;characteristicvalue;characteristicvector1相似矩阵有关定义定义1.1设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.定义1.2矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使),,(2,11ndiagAPP,n,,1为A的n个特征值.2相似矩阵有关性质a.已知P-1AP=B,即A相似于B,则ⅰ)|A|=|B|;ⅱ)tr(A)=tr(B);ⅲ)|A-λI|=|B-λI|.b.若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.c.A的属于同一特征值i的特征向量的线形组合只要不是零向量,仍是对应i的特征向量.d.A的属于不同特征值的特征向量线形无关.e.实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.f.若是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.g.任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵J相似.h.对n阶方阵A，以下三条等价:⑴A可对角化;⑵A有n个特征值（重根按重数计），且r（＞1）重特征值;⑶A有n个线性无关的特征向量.i.对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.3相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.3.1将常系数线性微分方程组.;;22112222121212121111nnnnnnnnnnuauauadtduuauauadtduuauauadtdu(3-1)写成矩阵形式为Audtdu(3-2)其中u=(Tnuuu),,,21,nnijaA*)(为系数矩阵,令(3-2)式的解u=xet,(3-3)即(Tnuuu),,,21=Tntxxxe),,,(21.将(3-3)式代入（3-2）得xet=Axet=Axet,化简得XAX,即(3-3)式中为A的特征值,X为对应的特征向量;若A可对角化,则存在n个线性无关的特征向量,,,,21nxxx于是得到(3-2)式的n个线性无关的特解.u1=111xet,u2=22xet,,un=ntxen.它们的线性组合uc1111xet+c222xet+…+cnntxen,(3-4)(其中nccc,,,21为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21nxxxtttneee21nccc21,记c=(nccc,,,21)T,te=diag(tttneee,,,21)p=),,,(21nxxx,则(3-1)式或(3-2)式有一般解cpeut(3-5)对于初值问题00,utuudtdu(3-6)解为01uppeut(3-7)因为t=0代入(3-5)式得c=01up.例3.1解线性常系数微分方程组.2;54;313212211xxdtdxxxdtdxxxdtdx已知初始值为:.2)0(,1)0(,1)0(321xxx解本题的初始值问题为TxxAxdtdx)2,1,1()0(0其中110450102A,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵P=012025111,使3001300021JAPP.由(3-7)式,该初值问题的解为01xPPeXtJ(3-8)其中,!)(!2)(2ntJtJtJIentJ(3-9)nnnnnnnCJ30033000230013000211(3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得tttttJeteeee333200000(3-11)再将(3-11)式及1,PP代入(3-8)式得tttttttteteeteteteeetxtxtxx32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()(例3.2解线性微分方程组11111221221122221122..............................nnnnnnnnnndxaxaxaxdtdxaxaxaxdtdxaxaxaxdt(3-12)解令12nxxXx,12ndxdtdxdXdtdtdxdt,111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa则方程组(3-12)可表示成矩阵形式dXAXdt(3-13)假设A可以相似对角化,即存在可逆矩阵P,使得112(,,,)nPAPdiag其中12,,,n为A的全部特征值.于是令XPY(3-14)其中12(,,,)TnYyyy,将式(3-14)代入式(3-13)，得()dPYAPYdt即dYPAPYdt(3-15)在上式两端同时左乘1P,得112(,,)ndYPAPYdiagYdt即111222nnndyydtdyydtdyydt将上式积分,得121122,,,ntttnnyCeyCeyCe(3-16)其中1C,2C,,nC为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得121122ntttnnXCPeCPeCPe其中iP为矩阵P的第i列,也是A的对应于特征值i的特征向量,1,2,,in.3.2对于n阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0nnnnnndxtdxtdxtaaaxtdtdtdt(3-17)可令2112321,,,,nnndxdxdxxxxxxdtdtdt于是可得与方程(3-17)同解的方程组12231121nnnndxxdtdxxdtdxaxaxaxdt(3-18)式(3-18)可写成矩阵形式dXAXdt(3-19)其中12(,,)TnXxxx,12(,,,)TndxdxdxdXdtdtdtdt,11010000001nnAaaa于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3求解微分方程323234120dxdxdxxdtdtdt(3-20)解令21232,,xxdxdxxxdtdt于是(3-20)式可变成等价的方程组122331231243dxxdtdxxdtdxxxxdt即dXAXdt其中123(,,)TXxxx,312(,,)TdxdxdxdXdtdtdtdt,0100011243A可求得A的特征值为1233,2,2，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)TTTXXX于是由上例知,312112233tttXCCCXeXeXe322123111322944tttCCCeee从而3221123tttCCCxxeee其中(1,2,3)iCi为任意常数.4相似矩阵在现实生活中的应用例4.1污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解设x0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t个期间的污染和工业发展水平分别记为xt和yt,它们之间的关系是：1111322ttttttxxyyxyt=1,2,…(4-1)记A=2213,tttyx,则(4-1)的矩阵形式为,1ttAt=1,2,…(4-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0=,00Tyx利用(4-2)就可以预测第k个期间该地区的污染和工业发展水平k,这是因为由(4-2)可得.,,,0021201kkAAAA这表明k可通过kA求得,为此考察A能否对角化,计算出A的特征多项式.()f=|AE|=)4)(1(2213由A有2个相异的特征值1和4知,A能对角化,所以可用性质来计算kA.对于11,解,0)(XAE可得A属于1的一个特征向量.211T对于,42解,0)4(XAE可得A属于4的一个特征向量.112T令,21P有A=.411PPdiag,424*22414*213112113140011211411kkkkkkkPPdiagA所以k=00000)42()4*22()41()4*21(31yxyxAkkkkk(4-3)(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0值代入(4-3)即可求得k.例如：若T110，有Tkkk44,(实际上此时0就是属于4的特征向量,所以);44400TkkkkkA