创新教育数学大课堂案例

1【创新教育数学大课堂案例】与学生谈数学湖北省罗田县三里畈中学“初中创新教育的研究与实践”课题组何国炎晏绍安范美良何先忠李怡书何群科鄂盛林丰军明(此系列《鄂东晚报》2005年春陆续选载)目录1.数学课文也要阅读2.数学世界的奇、妙、趣、美3.大局思想，整体方法4.浅谈数学复习中的整合5.数形结合开启思维的航船6.分类讨论，放飞思维7.逆向思维与应用8.数学解题原则9.谈“空间与图形”的入门学习10.谈数学学习方法11.由一个学生课堂错误想到的12.类比与联想，展开思维的翅膀【“与学生谈数学”之一】数学课文也要阅读罗田县三里畈初中范美良“读课文”似乎是语文学科的专利，中间加上“数学”二字，乍一听觉得有点别扭，2其实静静地想一想，数学课文不仅要认真地读，而且要仔细地读。数学课本是数学知识的载体，是同学们学习数学的依据，它是由文字、数学符号、图形、表达式等有机构成，千姿百态，变化无穷。其中蕴含了十分丰富的数学思想、数学原理、方法，小史等知识，字字有含义，处处存逻辑，抽象而严密。在学习中若有毫厘之疏忽，其结果就会产生千里之谬误。所以同学们在学习数学时只听老师的讲是不够的，还需要自己逐字、逐行、全面准确地读数学课本原文，以便正确学，学正确。这也是同学们学习数学的一种方法――阅读法。认真地读数学课文对提高同学们的数学成绩是无可非议的，无怪乎，数学教材中专门为同学们增设了“读一读”的“短文”，但我认为同学们绝对不能仅限于只读这些“短文”，还要读各章节的“引言”、“小结复习”、“新颖的刊头图语”，对于每章节的内容更应做到以下几点：一、课前初读，自悟其意“学贵自悟”，有目的预习读书是学好数学的良好开端。同学们通过初读，要能大致理解每章节所学内容，明确学习目标，要掌握什么？有哪些重要概念、法则、公式？是否能够初步运用？并结合这些问题书写简明读书笔记，且做到坚持不懈，这样才能读有所悟。二、课堂精读，悟出要点课堂学习是同学们学习过程的主阵地，通过自己的初读，结合课堂上教师的讲解，使自己在初读时的疑难问题得到逐步解决，通过精读、深钻，准确把握各章节中的重点、难点与关键，使知识条理化、系统化，从中悟出知识要点。三、课后复读，巩固提高读数学课文不能浅尝辄止，如果这样，易于返生，课后复读正是突破这一障碍的主要途径，因此课后复读一遍本章节的主要内容，研究一下例题的解题过程和分析方法，提高解决问题的能力，同时坚持写一写课后读书笔记，总结每章节学习的得失，谈谈学习体会，都能够收到良好的效果。总之，读数学课文要贯穿整个学习过程的始终。课前读，以作预习，课中读，以作学习，课后读，以作复习。读书的方式，可以默读，也可以朗读，但要边读边想，弄通其中的道理；边读边记，记忆有关概念、公式、法则、定理等基础知识；边读边解，掌握解题、证题的方法等基本技能，边读边画，达到既会作图，又会识图的要求……3【“与学生谈数学”之二】数学世界的奇、妙、趣、美罗田县三里畈中学何国炎数学是人类文明的结晶。从表面看，数学符号单调，数学公式枯燥，数学证明繁复，数学运算麻烦，然而正是这些，构成了数学大厦的美丽与壮观，使一代代学子为之深钻苦读，一个个数学家如醉如痴，为之贡献毕生的心血。是什么力量支配看他们？因为数学的魅力。只要潜心于数学世界，就会发现它的新奇，它的巧妙，它的情趣，它的美丽。如果你深入数学世界，就能勇敢地猎“奇”，大胆地探“妙”，多角度地赏“趣”，创造性地审“美”。人们常说大千世界，无奇不有，而数学世界更是千奇百妙，变化万千。就从学习代数式来看，神奇的变化就让人啧啧称叹。请看下列代数式：８１＝（８＋１）２；２５９２可变为２５·９２。数字不变，可表达方式却不一样。数的立方还会出现“黑洞”，诡异难测。例如：１５３＝１３＋５３＋３３；３７０＝３３＋７３＋０３；３７１＝３３＋７７＋１３；４０７＝４３＋０３＋７３；……这些奇妙的数字称为“水仙花”数。它们的新奇，肯定会你跃跃欲试。只要你“从代数式中找规律，列代数式表示”，就会自觉去猎“奇”，就具备了探索精神和归纳能力。数学来源于生活，产生于生产实践，是生活中奇的浓缩，是实践中妙的结晶。数学的运算，妙趣横生。请你观察１２３４５６７９这几个数字，看出缺哪一个数字吗？回答是缺“８”。而１２３４５６７９乘以７２的运算结果你知道是多少？回答是：８８８８８８８８８。有的是“８”吧！表面无“８”，而结果都是“８”。再看一个算式：１１１１１１１１１２＝１２３４５６７８９８７６５４３２１。这么整齐的对称数字，你说妙不妙？数学与生活，谁也离不开谁。１、２、３、４、５、６、７，一个星期接着一个星期，周而复始。而一个月的周历表中，任意三横三列排成正方形的９个数的和，总是等于中的哪个数的９倍。这难道不妙？数字还能变为美妙的音乐。用１、２、３、４、５、６、７七个数字，体现多、来、米……的声音高低与变化，组合成变化无穷的乐曲，表达人们喜、怒、哀、乐的丰富情感。按素质教育和新课改的要求，学生的课业负担减轻了，有了充足的富余的时间。如果养成了自学的习惯，走进数学的奇妙世界，在生活、生产中寻找数学的妙用，有利于培养智力和能力。如果能够大胆探“妙”，哪怕是“异想天开”，对于开发数学思维、培养想象能力来说，必然是收效显著。在开放的课外活动中，你要去品赏数学之“趣”，让兴趣伴随自己学习、钻研、探索的全过程。阅读数学家故事，能激发我们学习先哲们的钻研奉献精神，继承先人的科学成就。参加数学辨论会，能培养我们的探索精神，训练思维的严密、细致和敏捷。参加智力赛和擂台赛，能锻炼我们的数学运用能力，发扬敢于争先的精神。通过各种充满情趣的活动，养成爱数学、学数学的良好习惯，全面提高数学能力，应该成为同学们必要的方式和方法。数学是人类从生产生活和大自然中结晶出来的，其结构、图形、布局和形式，无一不体现数学美，连数学的方法也是与美相对应的。阅读――逻辑美；演算——精确美；观察――布局美；思考――潜在美；类比――相似美；联想――和谐美；猜想――启示美；探索――成功美；转化――变换美；发现――奇异美；构造――创造美。数学不但体现了科学美，也体现了艺术美。例如，用电化手段作几何图形的旋转或对称4练习，用塑泥制作各种形体，用卡纸或电线制作各种图形，通过作图画出美丽的图案等。“六月飞雪”就是把一个等边三角形的边分为三等份，以中间一等份为边向形外作等边三角形，如此继续下去，所得图形就象一个六角形的“雪花”。“羊年吉祥”是以正方形的一边为斜边，向外作正方形，依此画下去，所得图形就象一个“羊头”。这些图形，都体现了对称的艺术美。由动脑到动手，在亲手制作体会数学美，继而利用数学来设计创造美，这是数学美的升华。在猎奇中培养探索发现能力，在探妙中培养创造的灵感，在赏趣中培养热爱数学的情感，在审美中培养创新的本领。数学的神秘世界等待着无数的志士仁人去开发。【“与学生谈数学”之三】大局思想，整体方法罗田三里畈初中何国炎华人诺贝尔物理学奖获得者杨振宁博士说：“做物理就像作一幅大的画，你要有本领把局部结构画得很精细，但是更要能总体把握，这两点都要做到才行。”解数学题也是这样，在加强对局部基本知识的学习、研究、分析的基础上，从大局着眼，整体上把握问题，即所谓整体达到，它就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，观察和发现问题的整体的结构和特征，把一些式子和图形看成一个整体，把握他们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理，起到事半功倍而意想不到的效果。一、代数式化简求值中的整体代入法求代数式的值，就是把代数式中的每一个字母用数字代替后，再计算出结果。但是有些代数式求值不知道某个字母的取值，而另一些字母取值不知，这就要用整体代入的方法。如：已知，当x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x=2时，代数式ax3+bx+1的值___________。将x=-2代入式中得-8a-2b+1=6,∴8a+2b=-5,当x=2时，ax3+bx+1=8a+2b+1=-5+1=-4,而有些求值，则只有一些字母的关系式，这就更要有纵观大局思想，运用整体代入的方法求值。如：x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则100-(10x+10y+10z)=____________,观求式系数相同，察已知两式系数也有关系，故两式相加得5x+5y+5z=25。等式两边同乘以2后整体代入即能简单的求出值来。二、解方程中的整体换元法在解方程中，用上了整体的方法，使分式方程、无理方程换元后化难为易，求解简单、快捷、准确。而解方程组和不定方程中，整体叠加叠乘处理，换元整体构造方程，更是整体方法的妙用。如：求系数a、b、c间的关系式，使方程组000222baxcxacxbxcbxax有实数解。解：将三个方程叠加，得（a+b+c)x2+(a+b+c)x+a+b+c=0，即(a+b+c)(x2+x+1)=0,而x2+x+1＝（x+21）2+43≠0∴a+b+c=0；当a+b+c=0时，方程组有实数解x=1.此解法既有整体叠加，又有a+b+c=0整体讨论求解。而解方程组24)4)(9(1049yyxxyxyx更是将x+x9=α,y+y4=β，5整体换元后，以α、β为两根，构造一元二次方程为z2-10z+24=0,求解更易。三、几何中大局构造思想和整体方法几何是培养逻辑思维能力和空间想象能力的学科，因此大局思想，整体方法更是解决复杂几何问题茶馆用的方法。由“残部”想“整体”补复杂的图形为悉知的图形，是几何中整体方法的具体表现。如图，在四边形ABCD中∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积为___________。解本题，如果只在四边形内想办法作辅助线后计算，不但不能简单解决，现饭作辅助线后反而把已知角的条件破坏不能用。如果从整体上观察，∠B＝∠D＝90°，∠C＝180°－∠A＝45°，联想到直角三角形，并补形延长BA、CD交于点E，则为两个等腰直角三角形。△BCE和△ADE，问题非常简单的得到解决，充分的体现整体方法的奇效。大局思想，整体方法，不但能使解题简单明了，而且真正理解掌握知识，更重要的是开阔了眼界，发散了思维，培养了能力。【“与学生谈数学”之四】浅谈数学复习中的整合罗田县三里畈中学晏绍安数学复习是一个将平时所学的知识、解题方法、思维进行的巩固，再熟练强化，形成一种稳定习惯为再创造提供知识和技能意识基础的过程。而知识、解题方法，思维的巩固，必须通过题目这一载体，运用解题这种形式来实现，要达到再熟悉强化的目的，必须将题目根据知识、方法和思维训练的要求进行相对的集中，重新组合，打破平时教学的时限性、阶段性的限制，这就是整合。一是知识点的整合。理解掌握基本的知识是最起码的要求，也是运用知识解决问题，迁移知识的前提条件。牵涉到某一问题的知识不可能在某一章节全部出现，而是分散在不同年级不同章节中，学生不可避免地有蔬漏，复习的目的是要把这些分散的知识集中串起来，根据不同的题目条件运用不同的知识解决不同的问题，在比较中理解、掌握、运用知识。如：对于线段中点这一知识点涉及到的知识有：（１）中点两等分线段；（２）三角形的中线；（３）中位线定理；（４）垂经定理；（５）中垂线定理。如图：（１）在ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥AB交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分BAC。（2）如图：ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DGCE，G是垂足。求证：(1)G是CE的中点；(2)B＝2BCE。（3）如图，AB是圆O的直径，直线L切圆O于E，过A、B分别作直线L的垂线，A135BCDE6垂足分别是C、D，求证CO＝DO，AB＝AC＋BD。求证：CO＝DO。第１题，过Ｃ点作ＡＥ的平行线与ＡＥ的延长线相交于Ｇ点，利用中点两等分线段可构造全等三角形，进而证明对应角，对应线段相等或是转化为其他的相等关系；第２题连结ＤＥ，利用中点结合直角，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；结合已知条件和定理“到中线段两端