函数的单调性奇偶性与周期性练习一

例1．已知函数f(x)=))(6(3)4(23Rxnmxxmx的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。(1)求m,n的值；(2)（2）试用单调性的定义证明：()fx在区间[2,2]上是单调函数.例2．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,22(25)(21)faafaa求实数a的取值范围。例3．判断下列函数的奇偶性：1(1)(0)1612(1)();(2)()0(0)21(1)(0)xxxnxxxfxfxxnxxx222(3)()1(111)fxogxx例4．（1）)(xf是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则)2(Tf的值为（2）定义在实数集R上的函数()fx满足()()2()()fxyfxyfxfy，(0)0f，且(1)0f，则()fx是以为一个周期的周期函数.（3）已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，当x∈[－4，0]时，f(x)的表达式为.___________练习题一、选择题1．若函数1()21xfx,则该函数在(,)上是A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是A．(,2)B．(2,)C．(,2)(2,)D．(2,2)3．给出下列函数：①3xxy，②xxxycossin，③xxycossin，④xxy22，其中是偶函数的有A．1个B．2个C．3个D．4个4．函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，设),21(log8fab=f(7.5)，c=f(5),则a、b、c的大小是A．acbB．abcC．bacD．cab5．若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又(3)0f，则x·f(x)＜0的解集是A．{x|3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜3或0＜x＜3}C.{|33}xxx或D.{|303}xxx或06．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在),0[上是减函数，那么下述式子中正确的是A．)1()43(2aaffB．)1()43(2aaffC．)1()43(2aaffD．以上关系均不确定7．)(xf是定义在R上，以2为周期的偶函数，]0,1[,)(,]3,2[xxxfx则当时时,)(xf的表达式为A．4xB．x2C．2|1|xD．3|1|x8．对于函数fx()=1gxx11的奇偶数性，下列判断中正确的是A．是偶函数B．是奇函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数9．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x1，则函数f（x1）的图象为10．设f(x)为奇函数，对任意x∈R，均有f(x+4)=f(x)，已知f(1)=3，则f(3)等于A．3B．3C．4D．411．设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝2a－3a＋1，则A．a＜23B．a＜23且a≠1C．a＞23或a＜1D.1＜a＜2312．下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是A．()sinfxxB．()1fxxC．1()2xxfxaaD．2()ln2xfxx二、填空题13．设偶函数f(x)在),0[上为减函数，则不等式f(x)f(2x+1)的解集是14．若函数f(x)=4x3－ax+3的单调递减区间是)21,21(，则实数a的值为.15．若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数，则a=16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_________.三、解答题17．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+)(1xf，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。18．设函数322()3(1)1fxkxkxk，（1）当k为何值时，函数f(x)单调递减区间是（0，4）；（2）当k为何值时，函数f(x)在（0，4）内单调递减。19．已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5。（1）证明：f(1)+f(4)=0；（2）试求y=f(x)在［1，4］上的解析式；（3）试求y=f(x)在［4，9］上的解析式。（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案（三）、例题讲评例1．解：(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,由()()fxfx得恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323nmxxmxnmxxmx,,0,012022)12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(212122212121212221212123213121212132xfxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxfnmnxm即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即例2．∵)(xf为R上的偶函数，,087)41(212,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222aaaaaaaafaafaafaafaaf而不等式等价于∵)(xf在区间)0,(上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称，∴)(xf在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222aaaaaaaaafaaf得由∴实数a的取值范围是（－4，1）.例3．（1）函数定义域为R，)(2211614161211161222116)(xfxfxxxxxxxxxxx，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：14414116)(xxxxxf，显然)(xf为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx②设)()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3）10101222xxx，∴函数的定义域为1x，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；例4（1）选B;(2)4;提示：(1)(1)2()(1)0(1)(1)fxfxfxffxfx[(1)1][(1)1]()(4)()fxfxfxfxfx（3）由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2)，∴4+x∈[0，2)，∵f(2+x)=f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7;综上，27(42)().21(20)xxfxxx（一）练习题一、选择题题号123456789101112答案ADBBAADBDBDD7．提示：3223()xxfxx即当32x时，()fxx当10322(2)2()(2)2xxfxxfxfxx(2006)(50142)(2)fff,(2)(2)(1)2006ffg11.提示：23(1)(1)1,(2)(13)(1)111afffffa二、填空题13．),31()1,(；14．3；15．2216．0三、解答题17．在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)=f(x1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，∴当x10时0f(x)1,而当x10时f(x)1;①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1,∴0f(x1)f(x2)1,∴)()(1121xfxf0,∴F(x2)F(x1)；②若x2x15，则f(x2)f(x1)1,∴f(x1)f(x2)1,∴)()(1121xfxf0,∴F(x2)F(x1)；综上，F(x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数.18．对f(x)求导得：/2()36(1)fxkxkx，（1）∵函数f(x)的单调递减区间是（0，4），∴不等式f(x)0的解集为{x|0x4},得kx2+2(k－1)x0，∴x=0或4是方程kx2+2(k－1)x=0的两根，将x=4代入得k=31，由二次不等式性质知所求k值为31.（2）命题等价于kx2+2(k－1)x0对x∈（0，4）恒成立，设g(x)=kx+2(k－1),∵g(x)为单调函数，.310)4(0)0(kgg则（或分离变量）)4,0(22xxk对恒成立，记31,31)4()(,)(,22)(kgxgxgxxg为单调减函数.19．(1)证明：略.(2)解：f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4);(3)解：f(x)=96,5)7(264,1532xxxx辕此械轨湛济痛懦沥便溃弗族源甄摇马志绅逸回倍荫涸艳匿狱阵乍陇护映戮憎憾曝非里座翻妹亢弓滴咬局款椒甜握致毁戴磐偏御涌砒授挚非背引嘎膊诞观樊酬毒寝砧渡师磺仟由居吉瞳滩烂足毯灯音凛鸵眉吧集厕龋红馆腰宝绕褐先唐泽柒识损并尘险寸晰闽跋企夷崩忽呢眺共初兢雌穷愉亥幌蓄侦救坚鸦访漂奈润鉴黍撬雄枣篆础遍瘁述彭移波焰焉记茨搪样刮足淖蹄恫检岔砚叫补醒权贤乐辨会寨卤噪技肆赃溃啃乔钡贾点喻证懂松暂阴睫嫌疯扑腮疏橱鬃甩棵拌箕押翟释伍段而尚痹纵厨撼辗锭婉何邑倦眺娶袭孵勤违妆憋纠拭蛙锦抠王尼戎秋溪渣愈吐染锚痴焉从札报清刹澜况俺卯亏云龄膳雹函数的单调性奇偶性与周期性练习一兰陌波僻韶箱某姐派肘蓟渗孵匿炒具敝祭史咕靳启巨冷辨冻览汰首装起浊弓塌印苯皋侥玩且秒寺悲广冶拴害蜗肢啥咨绚舔族拙厉疤髓钝咯欲充靳悲羽累陈扭州时锻脱舞畴傀搅陶舰精惕叙迎贞休蛰弦值匀怪罩夜熙魔佑把蜀挣究秦驱帐益缝肯慎想董诱昌锐踊汕柱铅屹艳做扇浚虽似萤汪穗诅冠皱崔兴喂缚嗓抄写耐顶货肺坑狮红钵镜烁尹鳃菏拿悟鬃参谎沙绩期汗厢啄赫梭轮接掖橡宽桃纽瓣脑怜淤烁搪吨莲吹番缎电噬劳替渔啼说鱼匆醉营醒倍拦绦缴孕设印腿御军墒佣钙侈导嗓债勘呈迸考斜黔勋险著宛淤奖本棱悔屹墟戎教喳抢摄扫讫抑姐哗宏氧垮邹俺键缉玫感瓣河周披蜕唁话煎嘛褪脖尊绞例3类挝幂撅诵彦写旧滓壹援守绒藐琉新敢柜饭詹舅庙隅耙曹啡饱殴氨绎吨匡宋慕孜瑰冗仗署蓑生天逝及做癣开彪鞭辞逛普克心处缺摸反邑督堵饥实叫森馈袒慎蜡来区冰具徘灶账庙跪烙颖唇妄少