3-几何概型

1前面我们简要介绍了随机试验样本空间随机事件给出了事件的集合表示随机事件概率概率的计算统计概率古典概率几何概率概率公理化定义及运算法则2几何概型3早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法，来规定事件的概率.不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的.用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？显然用几何的方法是容易达到的.4把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.5如果试验E的可能结果可以几何地表示为区域Ω中的一个点(一维,二维,…),并且落在Ω中区域A的概率与A测度(长度,面积,体积)成正比,而与A的位置和形状无关,则随机点落在区域A的概率为P(A)=A的测度/Ω的测度=m(A)/m(Ω)几何概率定义(P.9)6几何方法的要点是：1、设样本空间Ω是平面上某个区域，它的面积记为m(Ω);Ω7该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.Ω2、向区域Ω上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是:83、设事件A是Ω的某个区域，它的面积为m(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为ΩA()()()mAPAm94、假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向Ω上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用确定，只不过把m(A)理解为长度或体积即可.ΩA()()()mAPAm10例1在线段[0,3]上任投一点,求此点坐标小于1的概率例2向区间[0,1]上任投两点,求此两点间距离小于1/2的概率11例3设x和y是任意两个小于1的正数，求xy1/3的概率例4(浦丰投针问题)在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为2a(a0)。向该平面投掷一枚长为2l(la)的质量均匀圆柱形的针，求此针与任一平行线相交的概率12例5在一个圆上任取三点A、B、C,求能构成锐角三角形的概率.ABC解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内角分别为、A、B，CA设的取值为x,B的取值为y,它们构成本试验的样本空间Ω.0x0y有x13ABC0xπ/20yπ/2x+yπ/2由几何概率计算得所求概率为能构成锐角的(x,y)所应满足的条件是：xΩ如右图中红色部分1/4即Ω={(x,y):,}0x0yx14“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的直径为d）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.例6抛阶砖游戏15问：参加者获奖的概率有多大？显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.16设阶砖每边长度为a,“金币”直径为d.a若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.问题化为:向平面区域Ω（面积为a2）随机投点（“金币”中心），求该点落在区域A内的概率.aAΩ17aaA于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当d接近a,p接近于0;而当d接近0，p接近于1.22()adpa0da若da,你还愿意玩这个游戏吗？18aaA成功抛中阶砖的概率22)(adap0da据此，请你自行设计不同难度的抛阶砖游戏.若设r=d/a,则p=(1-r)2110rp虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率