南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3-复变函数试题(二)

1复变函数与积分变换试题(二)试题2007复变函数与积分变换试题(二)izizzf)1(1)(20z一、填空题(1)，辐角主值为。.(3)的值为.。(2)何处解析？函数.；ii12复数的模为2)3(Lni22)(xiyzf在何处可导？(4)在处展开成泰勒级数的.。收敛半径为.。函数2复变函数与积分变换试题(二)试题2007(6).。(5)z=0为函数的何种类型的奇点？(8)函数的Fourier变换为.。)(2cos1exp)(zzzf积分的值为1||d)2(sin1zzzzzttf2cos21)((7)伸缩率为映射在处的旋转角为.。。.zzzf2)(2iz.。3复变函数与积分变换试题(二)试题2007四、将函数分别在和处展开0z1z为洛朗(Laurent)级数。izizizf)1(1)(2使得为解析函数且满足条件三、已知求常数a及二元函数,4),(33yxayxyxu),(yxvviuzf)(.0)1(f二、计算题2||2d)1(1ezzzzz1.πθθ205cos2d3.212d1sine|z|zzzz2.xxxxd12sin024.4复变函数与积分变换试题(二)试题2007七、利用Laplace变换求解微分方程组.1)0()0(,sin)()()(,0)0()0(,e)()()(yxttxtytxyxttytytxt八、设函数在上解析，且满足)(zf2||z,2|2)(|zf.0d)(4)()(4)(1||2zzfzfzfzfz证明：六、求把区域映射到单位圆内部的}{0Re,1|1|:zzzD保形映射。五、求区域在映射下}{0Re,2Im2:zπzπzDiiwzzee的像区域。5复变函数与积分变换试题(二)解答2007izizzf)1(1)(20z一、填空题(1)，辐角主值为。.(3)的值为.。(2)何处解析？函数.；ii12复数的模为2)3(Lni22)(xiyzf在何处可导？(4)在处展开成泰勒级数的.。收敛半径为.。函数复变函数与积分变换试题(二)解答243在直线x=y上处处不解析)23/(4lnki16复变函数与积分变换试题(二)解答2007(6).。(5)z=0为函数的何种类型的奇点？(8)函数的Fourier变换为.。)(2cos1exp)(zzzf积分的值为1||d)2(sin1zzzzzttf2cos21)((7)伸缩率为映射在处的旋转角为.。。.zzzf2)(2iz.。可去奇点i422)]2()2()([27复变函数与积分变换试题(二)解答2007二、2||2d)1(1ezzzzz1.;0]0,)([Reszf解,)1(1e)(2zzzfz令(1)z1=0为的可去奇点，)(zf])()1[(lim]1,)([Res21zfzzfz(2)z2=1为的二阶极点，)(zf)(1elim1zzz211eelimzzzzz.1(3)原式.2]0,)([Res]0,)([Res2)(izfzfπi8复变函数与积分变换试题(二)解答2007)()(53322!51!311!31!2111)(zzzzzzzzf,1!21!31)(z212d1sine|z|zzzz2.二、解令,1sin)(12ezzzfz则z=0为的本性奇点，)(zf,31!21!31]0,)([Reszf原式.32]0,)([Res2izfπi9复变函数与积分变换试题(二)解答2007(1)令则,eiz,21cos2zz,ddziz解.)15(d1||2zzziz3.二、πθθ205cos2d1||2d52121zzizzz原式,)15(1)(2zzizf(2)令则有两个一阶极点：)(zf,2/)15(1z.2/)15(2z(3)原式],)([Res21zzfπi1)52(12zzziπi.2π(不在内)1||z2z10复变函数与积分变换试题(二)解答2007izzizzizf2e],)([Res2.e212二、xxxxd12sin024.,iz则在上半平面有一个一级极点)(zf(2)原式)(],)([Res2Im21izfπi.e22解,)1(e)(22zzzfzi(1)令11复变函数与积分变换试题(二)解答2007,0246xyaxyuuyyxx,4a.44),(33yxyxyxu故使得为解析函数且满足条件三、已知求常数a及二元函数,4),(33yxayxyxu),(yxvviuzf)(.0)1(f,0yyxxuu解(1)首先u(x,y)必须为调和函数，即12复变函数与积分变换试题(二)解答2007解.44),(33yxyxyxu使得为解析函数且满足条件三、已知求常数a及二元函数,4),(33yxayxyxu),(yxvviuzf)(.0)1(f(1)dyyxyv)124(23,)(6224xyxy,)(4cxxyxvyxyu23124由得)(12412232xxyvxxyuxy由得,4)(3xx,6),(2244cyxyxyxv即得.)6(44)(224433cyxyxiyxyxzf(2)方法一偏微分法13复变函数与积分变换试题(二)解答2007解.44),(33yxyxyxu使得为解析函数且满足条件三、已知求常数a及二元函数,4),(33yxayxyxu),(yxvviuzf)(.0)1(f(1)(2)方法二全微分法,6),(2244cyxyxyxv即得.)6(44)(224433cyxyxiyxyxzf,12423yxyuvxy,12423xyxuvyx由得yyxyxxyxvd)124(d)124(d2323224224d6dd6dyxyxyx,)6d(2244yxyx14复变函数与积分变换试题(二)解答2007解.44),(33yxyxyxu使得为解析函数且满足条件三、已知求常数a及二元函数,4),(33yxayxyxu),(yxvviuzf)(.0)1(f(1)(2).)6(44)(224433cyxyxiyxyxzf,1c(3)由,0)1(f.)16(44)(224433yxyxiyxyxzf15复变函数与积分变换试题(二)解答2007①当时，1||z001nnnnniziz解)()1(1)(izzizf(1)在z=0处展开i1izizzf11111)(四、将函数分别在和处展开0z1z为洛朗(Laurent)级数。izizizf)1(1)(2.111izz.1101][nnnzi16复变函数与积分变换试题(二)解答2007解②当时，1||z)()1(1)(izzizf(1)在z=0处展开i1四、将函数分别在和处展开0z1z为洛朗(Laurent)级数。izizizf)1(1)(2.111izz00111nnnnnzizzzzizzzzf1111111)(.1101)(nnnzi17复变函数与积分变换试题(二)解答2007.111izz.解)()1(1)(izzizf(2)在z=1处展开四、将函数分别在和处展开0z1z为洛朗(Laurent)级数。izizizf)1(1)(2①当时，2|1|0z0)1()1(11nnnizzi12)1()1(111)(izzizf111111izz.)1()1(01nnniz18复变函数与积分变换试题(二)解答200702)1()1()1(1nnnzizi)1()1(111)(izzizf.)1()1(021nnnzi解)()1(1)(izzizf(2)在z=1处展开四、将函数分别在和处展开0z1z为洛朗(Laurent)级数。izizizf)1(1)(2.111izz.i12②当时，2|1|z1111)1(12zizi19复变函数与积分变换试题(二)解答2007.,10,01iiC解,e1zw令.11iwiww则.0,1,2iiiC(z)i)2/(i)2/(zwe1即像区域为第三象限。五、求区域在映射下}{0Re,2Im2:zπzπzDiiwzzee的像区域。(w1)ii1C2C(w)1Γ2Γi10iwiww1120复变函数与积分变换试题(二)解答2007六、求把区域映射到单位圆内部的}{0Re,1|1|:zzzD保形映射。(w2)2/i(w1)2/1(w3)i(w4)(w)1(z)2解zw1112wiw232ww3e4wwiwiww44iiwzizi22ee21复变函数与积分变换试题(二)解答2007七、利用Laplace变换求解微分方程组.1)0()0(,sin)()()(,0)0()0(,e)()()(yxttxtytxyxttytytxt,)1(1)()()(222ssYsYssXs.11)()()(2ssXssYssX对方程组两边取拉氏变换，并代入初值得解(1)令,)]([)(txsX,)]([)(tysY22复变函数与积分变换试题(二)解答2007七、利用Laplace变换求解微分方程组.1)0()0(,sin)()()(,0)0()0(,e)()()(yxttxtytxyxttytytxt解(2)求解得到像函数,)1(1)(2ssX.)1()1(1)(2ssssY(3)求拉氏逆变换即得,e)(tttx.cose)(ttyt.1)1(12sss23复变函数与积分变换试题(二)解答2007八、设函数在上解析，且满足)(zf2||z,2|2)(|zf.0d)(4)()(4)(1||2zzfzfzfzfz证明：证明(1)由在内解析，)(zf2||z(A)都在内解析；,)(zf2||z,)(zf)(2zf(2)由,2|2)(|zf,0)(zf,4)(zf(B))(4)(2zfzf;0]4)([)(zfzf(3)由(A),(B)有)(4)()(4)(2zfzfzfzf在内解析，2||z由柯西积分定理得.0d)(4)()(4)(1||2zzfzfzfzfz24复变函数与积分变换试题(二)解答2007休息一下……