基本不等式优质课

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2探究１：３、S_____S′abba222即：ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)abaabbaba222时，思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥时当ba时当ba证明：（作差法）2)(ba代数证明：abba222222.abab所以≥当且仅当a=b时，等号成立。文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.快快动手吧！探究2：),0,0(时等号成立当且仅当baba2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba代数证明：若a0，b0，则当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2baab你能发现这两个不等式的关系吗？若，将重要不等式中的分别用代替就会得到不等式ba,0,0baabba222ba,abba2)0,0(2babaab即：适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22≥xyxyP例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy≤得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxyS①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14和定积有最大值积定和有最小值思考：下面几道题的解答是否正确？2121.1,0)1(xxxxxxx解：的最值求已知.1,21211,1)2(2222时成立当且仅当解：的最值求已知xxxxxx0sin),,0(xx故解：因为4sin4sin2sin4sinxxxx所以.sin4sin),,0()3(的最值求若xxx不满足“一正”不满足“二定”不满足“三相等”能力提升例2、当x0时，的最大值为，此时x=。xxy1变式2:已知0x1,求f(x)=x(1-x)的最大值.变式1:已知x-2,求的最小值；21)(xxxf-2-1解：因为x0所以-x0,时等号成立。时，即当且仅当1121)(2)1(1xxxxxxxxx构造成可以用基本不等式的形式221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。归纳小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式作业第二课时习题课题型一、构造基本不等式证明不等式222221(1)(2)0,0,abcabbccabaababab例、证明：已知求证2220,0,0(1)(2)abcbcacababcabcabcabcbca变式、已知证明：222,(0,)111(1)41(2)211(3)(1)(1)911(4)222abababababab例、已知且，求证：例3求证：ab1时，lga·lgb12(lga＋lgb)lga＋b2.证明：由ab1知lga0，lgb0，故lga·lgb≤lga＋lgb2.又a≠b，则lga≠lgb，故lga·lgb12(lga＋lgb)．∵ab1，∴a＋b2ab，而12(lga＋lgb)＝lgablga＋b2，故有lga·lgb12(lga＋lgb)lga＋b2.[变式训练1]a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．分析：解决此题的关键是要记住一些常用的不等式：若a，b∈R＋，则ab≤(a＋b2)2,2(a2＋b2)≥(a＋b)2,a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b，1n(a1＋a2＋…＋an)≥na1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)等．证明：由不等式a2＋b2≥2ab，得a2＋b22≥a＋b2，即a2＋b2≥a＋b2.同理，b2＋c2≥b＋c2，c2＋a2≥c＋a2，三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2a＋b＋c2＝2(a＋b＋c)．例4已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，由上述三个不等式两边均为正，分别相乘．∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．构造条件二、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变1:若求的最小值120,3xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式课堂练习1.(1)已知，求函数的最大值。(2)已知，，且，求的最小值。45x54124xxy0x0y191yxyx2.求函数的值域。4522xxy3．如：求y＝sinx2＋2sinx(0xπ)的最小值．[例3](1)求函数y＝2x－5x2(0x25)的最大值；(2)当x3时，求函数y＝2x2x－3的最小值；(3)已知正数a，b满足a2＋b22＝1，求a1＋b2的最大值．分析：(1)本题可用二次函数配方法求最值，又y＝x(2－5x)可适当变形利用均值定理求最值；(2)先将函数解析式“化假为真”(即化假分数为真分数)，变形为能应用公式的形式；(3)利用条件中“和”为定值，需要对a1＋b2进行变形．解析：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x(2－5x)．∵0x25，∴5x0,2－5x0，∴5x·(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15∈(0，25)时，ymax＝15.(2)∵x3，∴x－30.又y＝2x2x－3＝2x－32＋12x－3＋18x－3＝2(x－3)＋18x－3＋12≥22x－3·18x－3＋12＝24，当且仅当2(x－3)＝18x－3，即x＝6时，上式等号成立．∴当x＝6时，ymin＝24.(3)a1＋b2＝a212＋b22＝2·a12＋b22≤2·12(a2＋12＋b22)＝324，当且仅当a＝12＋b22且a2＋b22＝1，即a＝32，b＝22时，a1＋b2有最大值324.[变式训练3](1)当0x12，求函数y＝x(2x－1)的最小值．(2)设a，b∈R，且a＋b＝5，求2a＋2b的最小值．(3)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值．解析：(1)解法1：(利用二次函数性质)y＝2x2－x＝2(x－14)2－18，故当x＝14时，ymin＝－18.解法2：(利用均值不等式)y＝－2x(12－x)由于0x12，故12－x0，∴x(12－x)≤(x＋12－x2)2＝116(当且仅当x＝14时取等号)∴y≥－18，故ymin＝－18.(2)因为a，b∈R，故2a,2b∈(0，＋∞)，则2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝225＝82.当且仅当a＝b＝52时，取等号．所以a＝b＝52时，2a＋2b的最小值为82.(3)解法1：∵x－1，∴x＋10.∴y＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立．∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)取得最小值9.解法2：令x＋1＝t0，∴x＝t－1，∴y＝t－12＋7t－1＋10t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，当且仅当t＝4t，即t＝2，x＝1时等号成立．∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)取得最小值9.•分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会．[例4](一题多解)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解法1：∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.解法2：由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x0，y0，∴y9，∴x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90.∴y－9＋9y－9≥2y－9·9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时，取等号，此时x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.解法3：由1x＋9y＝1，得y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－1y－9