状态空间表达式解

第2章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常连续系统齐次状态方程的解2.6线性离散系统状态方程的解2.2线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法2.3线性定常连续系统非齐次状态方程的解2.4线性时变连续系统状态方程的解2.5线性连续系统状态方程的离散化2.1线性定常连续系统齐次状态方程的解2.1.1齐次状态方程的解u=0X(t0)=X0X=AXt0=0·1、直接求解设n=1x=ax·解为x(t)=eatx0且eat=1+at+a2t2/2！+…对于n阶，解为X(t)=eAtX0eAt=I+At+A2t2/2！+…矩阵指数函数证明：设X(t)解的形式为X(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…代入状态方程b1+2b2t+3b3t2+…+kbktk–1+…=A(b0+b1t+b2t2…+bktk+…)b1=Ab0b2=Ab1=A2b01212!b3=Ab2=A3b01313!bk=Abk–1=Akb01k1k!2.1.1齐次状态方程的解b1=Ab0b2=Ab1=A2b01212!b3=Ab2=A3b01313!bk=Abk–1=Akb01k1k!令t=0，X(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…，X(0)=b0=X0将上述结果代入X(t)X(t)=(I+At+A2t2/2！+…)X0=eAtX0若t00，则X(t)=eA（t–t0)X(t0)2、拉氏变换法求解SX(S)–X(0)=AX(S)(SI–A)X(S)=X0X(S)=(SI–A)–1X0对X=AX取拉氏变换·对上式取拉氏反变换X(t)=L–1[(SI–A)–1]X0=eAtX0X(t)=eAtX02.1.1齐次状态方程的解记为:(t)=eAt(t–t0)=eA（t–t0)状态方程解：X(t)=(t)X0X(t)=(t–t0)X(t0)状态转移曲线eA（t1–t0)X(t0)X(t0)X(t1)X(t)t0t12.1.2状态转移矩阵状态转移矩阵满足的条件：(t–t0)=A(t–t0)·(0)=IeAt=L–1[(SI–A)–1]X(t)=eA（t–t0)X(t0)状态转移矩阵：eA（t–t0)或eAt2.1.2状态转移矩阵1、状态转移矩阵的性质：设t0=0（1）(0)=I根据定义得证eAt=I+At+A2t2/2！+…（2）(t)=A(t)=(t)A·证明：根据定义(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+…(t)=A+2A2t/2!+…kAktk–1/(k)！+…·=A(I+At+…Ak–1tk–1/(k–1)！+…)=A(t)=(t)A（3）(t1+t2)=(t1)(t2)证明:(t1+t2)=eA(t1+t2)=I+A(t1+t2)+A2(t1+t2)2/2！+…=(I+At1+A2t12/2！+…)(I+At2+A2t22/2！+…)=(t1)(t2)（4）[(t)]–1=(–t)证明：由（3）(t1+t2)=(t1)(t2)证明:得(t–t)=(t)(–t)=I（1）(0)=I(–t+t)=(–t)(t)=I所以[(t)]–1=(–t)（5）(t2–t1)(t1–t0)=(t2–t0)右式=(t2–t1+t1–t0)由（3）得=(t2–t1)(t1–t0)[(t)]k=(t)(t)…(t)=eAteAt…eAt=e(A+A+A…A)t=ekAt=(kt)（6）[(t)]k=(kt)1、状态转移矩阵的性质：设t0=0（7）对于n×n阶A和B阵，如果满足AB=BA，则e(A+B)t=eAteBt2、几个特殊状态转移矩阵的性质（1）若A为对角线矩阵100…0020…0…………000…nA=则(t)=eAt=e1t00…00e2t0…0…………000…ent1、状态转移矩阵的性质：设t0=0证明：将对角线矩阵A代入eAt=I+At+A2t2/2！+…中eAt=100…0010…0…………000…11t00…002t0…0…………000…nt++1/2！12t200…0022t20…0…………000…n2t2+…证明：1+1t+12t2/2！+…1+2t+22t2/2！+…1+nt+n2t2/2！+…00==e1t00…00e2t0…0…………000…ent（2）若A为m×m约当块110…0011…0…………000…1A=则eAt=e1t1tt2/2！…tm–1/（m–1）！01tt2/2！…tm–2/（m–2）！…000…01例：已知齐次状态方程X=AX的状态转移矩阵为·(t)=2e–t–2e–2te–t–e–2t–2e–t+2e–2t–e–t+2e–2t求[(t)]–1解：根据（4）[(t)]–1=(–t)[(t)]–1=2et–2e2tet–e2t–2et+2e2t–et+2e2t作业2-1：已知系统的状态转移矩阵为(t)=2e–t–e–2t2(e–2t–e–t)e–t–e–2t–e–t+2e–2t求系统矩阵A2.2线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法2.2.1直接计算法(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+…2.2.2拉氏变换法(t)=eAt=L–1[(SI–A)–1]2.2.3标准形法1、矩阵A的特征值互异e1t00…00e2t0…0…………000…entP–1eAt=PP：化A为对角线标准形的线性变换阵状态转移矩阵为1、矩阵A的特征值互异证明：当A的特征值互异时，必存在一个变换阵P，使1200…00220…0…………000…n2=又eAt=I+At+A2t2/2！+…则P–1eAtP=P–1IP+P–1AtP+P–1A2t2/2！P+…由于P–1A2P=P–1APP–1AP~A=P–1AP100…0020…0…………000…n=1、矩阵A的特征值互异同理：=所以P–1eAtP=P–1IP+P–1AtP+P–1A2t2/2！P+…P–1AkP=(P–1AP)……(P–1AP)1k00…002k0…0…………000…nk1、矩阵A的特征值互异=100…0010…0…………000…11t00…002t0…0…………000…nt++1/2！12t200…0022t20…0…………000…n2t2+…所以P–1eAtP=P–1IP+P–1AtP+P–1A2t2/2！P+…1、矩阵A的特征值互异P–1eAtP=P–1IP+P–1AtP+P–1A2t2/2！P+…1+1t+12t2/2！+…1+2t+22t2/2！+…1+3t+32t2/2！+…00=P–1eAtP=e1t00…00e2t0…0…………000…ent1、矩阵A的特征值互异eAt=e1t00…00e2t0…0…………000…entP–1PP–1eAtP=e1t00…00e2t0…0…………000…entA=01–1–6–116–6–115例：已知系数矩阵试求其状态转移矩阵。解：1=–1、2=–2、3=–335/2–2–3–4313/2–1P–1=P=[p1p2p3]=111026149eAt=e1t00…00e2t0…0…………000…entP–1PeAt=e1t00…00e2t0…0…………000…entP–1P35/2–1–3–4313/21111026149e–t000e–2t000e–3t=3e–t–3e–2t+e–3t=5/2e–t–4e–2t+3/2e–3t–6e–2t+6e–3t3e–t–12e–2t+9e–3t……………2、矩阵A有重特征值A具有m重特征值，则状态转移矩阵为eAt=Qe1te1tte1tt2/2！…e1ttm–1/(m–1)！0e1te1tt…e1ttm–2/(m–2)！…000…te1tQ–1000…e1t以A有三重特征值为例进行证明110011001J=Q–1AQ=证明eAt=I+At+A2t2/2！+…则Q–1eAtQ=Q–1IQ+Q–1AtQ+Q–1A2t2/2！Q+…=I+Jt+J2t2/2！+…eAt=Q(I+Jt+J2t2/2！+…)Q–1110011001J=Q–1AQ=将代入上式，得eAt=Qe1te1tte1tt2/2！0e1te1ttQ–100e1t若A具有三重特征值1，二重特征值2，单特征值3，状态转移矩阵eAt=QQ–1e1te1tte1tt2/2！0000e1te1tt00000e1t000000e2te2tt00000e2t000000e3t2.2.4化eAt为A的有限项法已知eAt=I+At+A2t2/2！+…则有eAt=a0(t)I+a1(t)A+a2(t)A2+…an–1(t)An–1a0(t)、a1(t)、…，an–1(t)为待定系数是t的标量函数若A的特征值互异，则1222…2n–11112…1n–11nn2…nn–1…………a0(t)a1(t)··an–1(t)e1te2t··ent=2.3线性定常连续系统非齐次状态方程的解X=AX+BU·1、直接求解X–AX=BU·(X–AX)=e–AtBU·e–Atddt[e–AtX]=e–AtBUdd[e–AX()]d=dt0te–ABU()t0te–AtX(t)=e–At0X(t0)+dt0te–ABU()X(t)=eA(t–t0)X(t0)+dt0teA(t–)BU()X(t)=(t–t0)X(t0)+dt0t(t–)BU()非齐次状态方程的解2、拉氏变换求解SX(S)–X(0)=AX(S)+BU(S)设t0=0X(S)=(SI–A)–1X0+(SI–A)–1BU(S)对上式取拉氏反变换，利用卷积积分X(t)=L–1[(SI–A)–1]X0+L–1[(SI–A)–1BU(S)]X(t)=eAtX0+d0teA(t–)BU()非齐次状态方程的解或X(t)=(t)X0+d0t(t–)BU()X=AX+BU·例：已知系统状态方程X0=0试求在单位阶跃输入（u=1(t)）作用下状态方程的解。解：(t)=eAt=L–1[(SI–A)–1](SI–A)–1=adj(SI–A)|SI–A|S+31–2S1(S+1)(S+2)=(SI-A)=S–12S+3=S+3(S+1)(S+2)1(S+1)(S+2)–2(S+1)(S+2)S(S+1)(S+2)uX·01–2–301=X+(SI–A)–1=S+3(S+1)(S+2)1(S+1)(S+2)–2(S+1)(S+2)S(S+1)(S+2)=2S+11S+21S+11S+2–––2S+12S+22S+2–1S+1++2e–t–e–2te–t–e–2t–2e–t+2e–2t–e–t+2e–2t=eAt=L–1[(SI–A)–1]状态方程的解dt0teA(t–)BU()X(t)=2e–(t–)–e–2(t–)e–(t–)–e–2(t–)–2e–(t–)+e–2t–e–(t–)+2e–2(t–)=0td01=0te–(t–)–e–2(t–)–e–(t–)+2e–2(t–)d=e(–t)–1/2e2(–t)–e(–t)+e2(–t)t01/2–e–t+e–2t1/2e–t–e–2t=2e–t–e–2te–t–e–2t–2e–t+2e–2t–e–t+2e–2t=eAt2.4线性时变连续系统状态方程的解2.4.1线性时变连续系统齐次状态方程的解X=A(t)X(t)·已知X(t0)状态方程的解：X(t)=(t，t0)X(t0)2.4.2状态转移矩阵(t，t0)的性质（1）(t0，t0)=I(t，t0)=A(t)(t，t0)·证明：将X(t)=(t，t0)X(t0)代入X=A(t)X(t)·(t，t0)X(t0)=A(t)(t，t0)X(t0)·[(t，t0)–A(t)(