2.3连续型随机变量及其概率密度

12.3连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量二、常见连续型分布2设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有一、连续型随机变量定义:则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度dttfxFx)()(3可知,连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的连续函数若概率密度f(x)在点x连续,则F(x)=f(x)f(x)的性质:(1)f(x)≥0,x+(2)1)(dxxf4P(x1X≤x2)(3)P(x1X≤x2)=F(x2)F(x1)x2xof(x)x1这条性质是密度函数的几何意义)()(2121xxdxxfxx5注:对连续型随机变量X和任意实数a,总有P(X=a)=0即,取单点值的概率为0∵a及0,有又得P(X=a)=0{X=a}{aX≤a}0≤P(X=a)≤P(aX≤a)=F(a)F(a)0)]()([lim0aFaF6故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)连续型随机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关即:P(aX≤b)=P(a≤Xb)=P(aXb)=P(a≤X≤b)7例1设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=Ae－|x|,x+试求:(1)常数A(2)P(0X1)(3)X的分布函数解:(1)dxAex||dxeAx02=2A=11)(dxxf21A8(2)P(0X1)(3)x0x≤0dxxf10)(dxex1021)11(21edttfxFx)()(dtext||21dtexFxt21)(xe21dtedtextt002121dtexFxt||21)(xe2119X的分布函数为:综合得:0,2110,21)(xexexFxx10例2设随机变量X的概率密度为其它021210)(xxxxxf试求X的分布函数解:当x≤0时,dttfxFx)()(=0当0x≤1时,dttfxFx)()(dttfdttfx00)()(dttx022x11当1x2时,dttfxFx)()(dttfdttfdttfx1100)()()(dttdttx110)2(12212xx当x≥2时,dttfxFx)()(dttfdttfdttfdttfx221100)()()()(dttdtt2110)2(=112xxxxxxxxF21211221020022综上所述,可得随机变量X的分布函数:13试求:(1)系数A和系数B(2)X的概率密度(3)例3设连续型随机变量X的分布函数为解:(1)F(+)=1)(lim22xxBeA=A=10,00,)(22xxBeAxFx)9ln4ln(XP14右连续:得:A=1,B=1(2))(lim202xxBeA=A+B=0f(x)=F(x))0()(lim0FxFx0,00,1)(22xxexFx0,00,22xxxex15(3))9ln4ln(XP)4ln()9ln(FF)1()1(2ln3lnee31216116二、常见连续型分布1.均匀分布X的概率密度为:称X服从区间[a,b]上的均匀分布记为X～U[a,b]其它,0,1)(bxaabxf17由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,c+l][a,b],有:b,1,,0)(xbxaabaxaxxFdxxflcc)(dxablcc1ablP(c≤X≤c+l)18这说明:X落在[a,b]的子区间内的概率与子区间的长度成正比,而与子区间的位置无关可见,落在长度相等的各个子区间的可能性相等19例4设随机变量X在(2,8)上服从均匀分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率解:方程有实根=4X236≥0X≥3或X≤3已知P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}dxdxdx3883006165其它,082,61)(xxfX202.指数分布X的概率密度为:称X服从参数为的指数分布由上式求得X的分布函数:)0(0,00,)(xxexfx0,00,1)(xxexFx21例5某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的寿命则Xi的概率密度为0,00,6001)(6001xxexfx22以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小时内,第i只元件损坏”则A1,A2,A3相互独立且P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)0,00,6001)(6001xxexfxdxxf2000)(dxex200060016001311e23所求概率为:P(A1∪A2∪A3)=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e1)(1321AAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP243.正态分布正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位X的概率密度为:其中,(0)为常数xexfx,21)(222)(25称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为X～N(,2)oxf(x)21可求得X的分布函数为:dtexFxt222)(21)(26当=0,=1时,称X服从标准正态分布N(0,1)其概率密度(x)及分布函数(x)为:xexx,21)(22dtexxt2221)(27(2)N(,2)的分布函数F(x)与N(0,1)的分布函数(x)的关系:N(0,1)的性质:(1)对称性:(x)=(x)xo-x(x)=1(x))()(xxF(x)28令,得(3)(4)ab,X～N(,2),有:)(1)(xxfdtexFxt222)(21)(tuduexFxu2221)()(x)()()(abbXaP29书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是x0时,Φ(x)的值.当-x0时xx30),,(~2NX若XY~N(0,1)若X～N(0,1),}{bYaP}{bXaP)()(}{}{abbXaPbXaP)()(ab31由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则32将上述结论推广到一般的正态分布,),(~2NY时，6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，Y的取值几乎全部集中在]3,3[区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.33例6（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则).1,0(~69.7170NX故事件{X175}的概率为P{X175}=}175{1XP)65.0(1)69.7170175(1=0.257834解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(Xh)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?35因为X～N(170,7.692),)1,0(~69.7170NX)69.7170(h故P(Xh)=0.99查表得(2.33)=0.99010.9969.7170h所以=2.33,即h=170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(Xh)0.99求满足的最小的h.36例7设X～N(3,4),试求:(1)P(2X≤5)(2)P(2X7)(3)若P(Xc)=P(X≤c),求c的值解:又=3,=2)()(xxF)23(x37(1)P(2X≤5)(2)P(2X7)=0.5328=F(5)F(2)=F(7)F(2)=(1)(0.5)=(1)[1(0.5)]=(2)(2.5))232()235()232()237(38=0.9710(3)P(Xc)=1P(X≤c)=P(X≤c)=(2)[1(2.5)]P(X≤c)=0.5F(c)=0.5c=35.0)23(c023c