自动控制原理第五章：频域分析法

第五章频域分析法教学目的频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。教学重点1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念教学内容1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的频域指标要求与学时1、掌握频域分析的基本概念，分析方法2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统的稳定性。4、稳定裕度与系统稳定性能的关系5、闭环系统的频域指标6、学时：12学时第五章第一次课一、频域分析的概念：掌握如下几种曲线的绘制和意义幅频曲线图、相频曲线图、幅－相曲线图、对数频率特性图（Bode图）。二、认识典型环节及开环频率特性曲线：幅相曲线、对数频率特性曲线。三、重点：振荡环节频率特性作业题：5－2、5－4、5－5思考题：5－7第五章第二次课一、开环幅－相曲线绘制概略绘制开环幅相曲线的三个要素：1.ω=0+和ω＝∞；2.幅相曲线与实轴的交点；3.幅相曲线的走向二、含积分环节的幅－相曲线的绘制三、开环对数频率特性的绘制作业：5－9、5－10第五章第三次课一、继续讲开环对数频率特性绘制方法二、最小相位系统与传递函数关系作业：5－11（1）（3）、5－12bc第五章第四次课一、频域稳定判据1.奈奎斯特判据基础2.幅角原理3.奈奎斯特判据4.正穿越、负穿越的含义作业：5－13、5－14（1）（3）（5）（7）（9）第五章第五次课一、对数频率稳定判据1.对数频率曲线与奈奎斯特曲线的对应关系2.在Bode图中，所谓的正穿越、负穿越的含义二、稳定裕度1.幅值裕度h2.相角裕度γ作业题：5－17、5－19思考题：5－18第五章第六次课一、闭环系统的频域指标1.尼科尔斯图线2.闭环系统频域指标与时域指标的转换二、本章小结作业：5－22、5－25第五章频率频域分析法频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。可以对基于物理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。第一节频率特性二由实验方法求频率特性正弦信号发生器实验装置（系统或元件）双踪示波器图5－3求频率特性的实验方法|()|YGjX系统的幅频特性：系统的相频特性：()()Gj5-2频率特性以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。RCUiUoicuRiudtduciciccuudtduRc所以：rccuudtduTRcT，　则：　令：取拉氏变换，求网络的传递函数⑴TssUsUsGic　　　11)()()(如果输入为正弦量：tAtuisin)(由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。　　　⑵TjjUjUic11)()(在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。5-2频率特性控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。5-2频率特性频率特性定义：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性。由定义可知，只有系统在稳态时，才可能测出频率特性；对不稳定的系统，频率特性是观察不到的。由于G(s)是个复数，可分别求出其幅值和相角关系。1)(1)()(|)(2TjUjUjAicTic1tan)()()(它们都是角频率ω的函数，分别称为幅频特性和相频特性。5－2频率特性极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。当输入信号的频率ω由0-变化时，向量G(jω)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图，又称为G(jω)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。()()()GjXjY22()122()()()()()tan()|()|()()jGjXYeYXGjXY实频特性虚频特性相频特性幅频特性5-2频率特性分别画出幅频特性A(ω)和相频特性Φ(ω)的曲线。ω=0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°ω=1/TA(ω)=0.707φ(ω)=－45°A(ω)10.7071/TωΦ(ω)ω－45°－90°1/T1)(1)()(|)(2TjUjUjAicTic1tan)()()(频率特性频率特性也称频率响应，它是指系统或部件对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。一由传递函数求系统的频率响应mnpspspszszszsKsUsCsGnm,)())(()())(()()()(2121mnpjpjpjzjzjzjKjGnm,)())(()())(()(2121jssGjG)()(miniiijnkkmiieBAKjG11)(111)(mieBpjmieAzjiijiijii,,2,1,,,2,1,11频率特性对应的幅值和相角：nkkmiiBAKjG111)(nkkmii111)(同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2)。若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。•其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。•相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法有：1、幅频、相频特性曲线；2、幅相曲线；3、对数频率特性曲线（对数幅频、对数相频曲线）；4、对数幅相曲线（Nichols曲线)一、幅频、相频特性曲线，前已介绍过，即以角频率ω为变量，分别作出A(ω)φ(ω)曲线。频率特性的几何表示法二、幅相曲线，以ω为参变量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上。实轴正方向为相角零度线。逆时针方向的角度为正角度；顺时针方向的角度为负角度。对于一个确定的ω值，必定有一个确定的幅值、相角与其对应。如：ω＝0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°Im0ωω=01M(ω)θ(ω)Re幅相曲线反映了ω从0→∞幅值和相角变化的情况。习题1例设一线性系统的传递函数为)42)(42()1(10204)1(10)(2jsjssssssG试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。解：传递函数零、极点的分布如图所示。图5－1零、极点分布-1+j0-2+j4-2-j40j令s=j210(21)(2)(224)(224)10563.44071.68451.2536.8jGjjjjj代入不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组|G(j)|和(j)值。习题1024681000.511.522.53频频频频频频频频幅度0246810-120-100-80-60-40-2002040频频频频频频频频相角G=tf(10*[1,1],[1,4,20]);X=[];Y=[];w=logspace(-1,1,100);[x,y,w]=bode(G);……习题2例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：)1.01)(1(10)()(sssHsG解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为：1.0tan23tan22111)1.0(111.011)(1111)(10)(jjejjGejjGjG因而开环系统的幅频特性，相频特性：22)1.0(1110)()(jHjG1.0tantan)(11习题2-20246810-6-4-20246在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))Transferfunction:10-------------------0.1s^2+1.1s+1nyquist(g)频率特性的几何表示法频率特性的另一种图示法：对数坐标图。它不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。由对数幅频特性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为20lg|G(j)|，单位是分贝，用符号dB表示，常把用符号L()表示。相频图的纵坐标为()，单位是弧度或()。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率，常用lg分度，从而形成了半对数坐标系。3.对数频率特性频率特性的几何表示法横坐标采用lg的对数坐标分度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。ω与lgω的关系：ω12345678910lgω00.30100.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541对数坐标系对数坐标图对数频率特性曲线10-1100101-20-10010203010-1100101-180-160-140-120-100对数频率特性曲线对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：)1()1()(21TjjTjkjG)(1)(1)(221TTkjG幅频：　2111tan90tan)(TT相频：　2221)(1lg20lg20)(1lg20lg20)(lg20)(TTkjGL　　　　　　　　　　　对数幅频特性：　5－3典型环节和开环系统频率特性典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：系统开环零、极点在左半s平面2、非最小相位环节：系统在右半s平面存在零、极点5－3典型环节和开环系统频率特性一、比例环节00)(jKejKjGKRe0ImkjG)(0)(）＝（　　kjG幅相曲线是实轴上坐标k点，如右图-2002010-1100101102-90090K=5K=0.5对数幅频、相频特性如右图：0)(lg20)(kL5－3典型环节和开环系统频率特性二、积分环节jjG1)(901)(）＝－（　　jG幅频特性与ω成反比，相频特性恒为－90°Im211)(jejjGω=010-1100101-2002010-1100101-180-900对数幅频：L(ω)=－20lgω相频特性:φ(ω)=－90°ω=1L(ω)=0；ω=10L(ω)=－20ω=100L(ω)=－40ω=0.1L(ω)=20每当ω增加十倍，L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程－20dB/dec5－3典型环节和开环系统频率特性如果传递函数中