函数的微分及其在近似计算中的应用

1函数的微分微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分的运算法则微分在近似计算中的应用微分的近似计算误差估计基本初等函数的微分公式和、差、积、商的微分法则复合函数的微分法则2第七节函数的微分一.微分的定义：1.实例——函数增量的构成20xAxx0xx0x2xx0x0x此时面积改变了多少？变到边长由热正方形金属薄片，因受,xxx,002xA的函数关系为解：正方形边长与面积2020202)(xxxxxxAx时，面积增量为当边长增量为函数的增量由两部分构成：的主要部分。的线性式，是函数增量、等式右边第一项，x1.022的高阶无穷小时，是，当、第二项xxx32、微分的定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，区间内，如果函数的增量)()(00xfxxfy)(xoxAy.xAdy可表示为（1）其中A是不依赖于x的常数，而)(xo是比x高阶无穷小，)(xfy那么称函数在点0x是可微的，而xA叫做函数相应于自变量增量x的微分，)(xfy在点0x记作dy，即：及0xxx0在这定义.),(为函数的微分则称若xAdyxxAydyyxdyyxA很小时，。的线性主部，即：称为40x设函数)(xfy在点可微,则有(1)成立，即)(xoxAy.)(xxoAxy得,x等式两端除以).(0xfA0x因此,如果函数)(xf在点可微，0x则)(xf在点也一定可导,且3、问题：函数可微的条件是什么？?A于是,当0x时,由上式就得到xyx0lim0xfxxoAx0lim.A)(lim00xfxyx根据极限与无穷小的关系,上式可写为反之,如果)(xfy0x在存在,可导,即5），（0,0)(0xxfxy.)(0xxxfy则,)(,0xxfxox不依赖于且）（因故上式相当于(1)式,在点0x可微。)(xf则).(',)()(000xfAxxfxxfy且处可导在处可微在函数4.函数可微的充要条件：如函数xycos的微分为xxxxdysin)'(cos显然，函数的微分xxfdy)(与x和x有关。函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作.)(xxfdy),(xdfdy或即65、微分的几何意义xyM0NPQx0xx0xydyTO)x(fy当x很小时，.ydy纵坐标的相应增量。就是曲线的切线上点的，上点的纵坐标的增量时是曲线dyxfy)(y:几何意义7例1求函数处的微分。和在312xxxy处的微分为在3xxxxdyx6|)(32解;2|)(12xxxdyx处的微分为在12xxy函数例2求函数..x,xxy时的微分当02023.3)(23xxxxdy时的微分再求函数当0202.x,x...xxdy.xx.xx2400202332020220202解先求函数在任意点的微分8).(0xfdxdy从而有：通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作.dx即xdx.)(0dxxfdy则函数的微分又可记作：)(xfy这表明,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也叫“微商”.导数（微商）即微分之商。9二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式导数公式微分公式,xx1,cossinxx,sincosxx,sectan2xx,csccot2xx,tansecsecxxx,cotcsccscxxx,lnaaaxx,exxe,dxxxd1,cossinxdxxd,sincosxdxxd,sectan2xdxxd,csccot2xdxxd,tansecsecxdxxxd,cotcsccscxdxxxd,lnadxaadxx,dxedxxe102.函数的和、差、积、商的微分法则,ln1logaxxa,1lnx,11arcsin2xx,11arccos2xx,11arctan2xx.11cot2xxarc,ln1logdxaxxda,1lndxxxd,11arcsin2dxxxd,11arccos2dxxxd,11arctan2dxxxd.11cot2dxxxarcd11函数和、差、积、商的求导法则,vuvu，是常数CuCCu,vuvuuv.vvvuvuvu02函数和、差、积、商的微分法则,dvduvud，是常数CCduCud,udvvduuvd.vvudvvduvud023.复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式duufdy)(保持不变。这一性质叫做微分形式不变性。:)]([,)(),(的微分为则复合函数都可导设xfyxuufy.)()(dxxufdxydyxduydyduufdyu或或写为：)(dxxdu)('124、利用微分公式的形式不变性计算利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以得到函数的导数。例3：.,2cos2dxdydyxy求：)2(cos2cos2)2(cos2xxdxddy)2(2sin2cos2xxdxdxxx2)2sin(2cos2xdx4sin2.4sin2xdxdy132、分别按照dx、dy合并同类项。得到g1(x,y)dy=g2(x,y)dx利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤：1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行到dy、dx。dxyxgyxgdyyxgyxgdxdy),(),(),(),(1212或微分求得导数：3、14在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。)12()12cos(xdx)(sinuddyuducosdxx2)12cos(.)12cos(2dxx.dxexexx221221lnxeddy解22111xxede22211xdeexxxdxeexx2122解把2x+1看成中间变量u，则例4),12sin(xy求.dy例5),1ln(2xey求.dy15)cos(31xeddyx例7在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。.)sincos3(31dxxxex)(cos)(cos3131xdeexdxxtdtdxdxdcos(__))2(;(__))1(解:,22xdxxd即，解应用积的微分法则得：.2)(2xdxxd(1)因为dxexx3cos31xdxexsin31221xdxdx可见，,xd22例6,cos31xeyx求.dy16,cos)(sin)2(tdttd因为,cossin1tdttd即，)(,cossin1为任意常数一般地，有：CtdtCtdtdtdtsin1cos可见，,sin1td17第八节微分在近似计算中的应用dyxfxxfdyyx00,,即很小时在dxxfxfdyxfxxfxxfxxxxdxdxxfdyyyx)(')()()()(2)()('1000000000的函数值点附近的点、求应增量点的微分，求函数的相、利用有两方面的应用：微分在近似计算中主要23434RV,RV体积.RRRVV24近似值为：铁球的体积的改变量的解：-502.401020143432毫米..102024.RRRRV多少？试估计铁球体积减少了毫米以后其直径缩小了使用一段时间毫米铁球直径为用于研磨水泥原料用的,.,2040例1：18式得：应用取236060,x,x3606sin0330sin36023213606cos6sin507600076050000...36060330;cos,sinxxfxxf则设解：例2：近似值。利用微分计算0330sin19,14xex.xx1ln5利用上式可导出工程上常用的几个公式（）：假定x很小;xnxn1111为弧度制xxxsin2为弧度制xxxtan3在式中，取00x得xffxf00dxxfxfdyxfxxf)(')()()(0000xx20.的近似值求3997331000311000997利用近似公式得：解30030110.3997999003031110....的近似值求051得：利用近似公式1,05.0105.1,...0251050211051,..024701051如直接开方得：...00100511.025的近似值其误差不超过作解21用微分在误差估计中的应.,,,,间接测量误差叫作果也会有误差差的数据计算所得的结带有误差而根据带有误测得的结果必然响围环境等各种因素的影测量方法以及测量时周由于测量仪器的精度、经常需要测量各种数据在实际工作中绝对误差和相对误差1.绝对误差：,,Aa它的近似值为设某个量的精确值为相对误差：.a,aaAaaA的相对误差称为的比值与绝对误差.aA称为的绝对误差则在实际工作中，由于某个量的精确值往往是无法知道的，所以绝对误差和相对误差无法求得。22.A,aA,,a,AAAA的绝对误差限为测量则称即差不超过它门之间的误测得它的近似值为某个量的精确值为绝对误差限：相对误差限：.AaA的相对误差限称为测量利用微分估计误差2..,值计算可按公式值设根据直接测量yxfyx,x,xxx即的绝对误差限是如果已知测量.yyyyxy的相对误差限约为xyxydyyyy,0的绝对误差时则当,yyxy的绝对误差限约为即23..mm.D,mm.DD试估计截面积的误差的绝对误差限测得设测得圆钢截面的直径0500360,DA24面积公式,DDDdAAD22的绝对误差限约为A的相对误差限约为A050.DD及解：050.DD的绝对误差限这里dAA242DDADADD2A,mm...2715405003602DD2%....17003600502通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。,DDDA2例5：24小结：4．近似计算公式xxfdyy)(')1(xxfxfxxf)(')()()2(000))((')()()3(000xxxfxfxf5．工业上常用的几个近似公式6.绝对误差与相对误差的定义及计算1．微分的定义、公式2．微分的几何意义3．基本初等函数的微分公式与微分运算法则xffxf00)4(作业:习题2-7，2-8，总习题二学习指导例题2.15,2.16，第二章自测题作业纸：P16下次交P15-