第5-4讲-陪集与拉格朗日定理

1第5-4讲陪集与拉格朗日定理1.左陪集和右陪集2.拉格朗日定理3.拉格朗日定理的推论4.第5-4讲作业21、左陪集和右陪集定义1设H,*是群G,*的子群，aG。集合aH={a*h|hH},Ha={h*a|hH},分别称为由a确定的H在G中的左陪集和右陪集。a称为代表元素。注：1、群的每个子集不见得都是群。子群的陪集是群论中的一个重要内容，由这一概念可以引导出一个重要结果，即拉格朗日定理。它表述了群与其子群之间存在的一个重要关系。2、这里只就左陪集进行讨论，右陪集也有类似的结论。32、拉格朗日定理（1）定理1（拉格朗日定理）设H,*是群G,*的一个子群，则（1）R={a,b|a,bG,a-1*bH}是G上的一个等价关系，且[a]R=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，则m|n。证明：(1)先证R是等价关系。对任意aG，有a-1G，按所设，H,*是群G,*的一个子群，H,*和G,*有相同的幺元e=a-1*aH。按R的定义，a,aR,故R是自反的。若a,bR，则a-1*bH。因H是群，(a-1*b)-1=b-1*aH，所以，b,aR，故R是对称的。若a,bR，b,cR，则a-1*bH,b-1*cH。所以，(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*(b*b-1)*c=a-1*cH,可知a,cR，故R是传递的。42、拉格朗日定理（2）拉格朗日定理:设H,*是群G,*的一个子群，则（1）R={a,b|a,bG,a-1*bH}是G上的一个等价关系，且[a]R=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，则m|n。证明(续)：再证[a]R=aH。若aG，则b[a]Ra,bRa-1*bHa*(a-1*b)aHbaH(2)因R是等价关系，可设R将G划分为K个等价类[a1],[a2],…,[ak]，)(][11GaHaaGiikiRiki若h1,h2H，且h1h2，aG，那么a*h1a*h2。所以|aiH|=|H|=m(i=1,2,…,k)因此mkHaHaGnkiiiki||||||1152、拉格朗日定理（3）例1在X=R-{0,1}定义6个函数:f1(x)=x;f2(x)=x-1;f3(x)=1-x;f4(x)=(1-x)-1;f5(x)=(x-1)x-1;f6(x)=x(x-1)-1则F,是群，这里F={f1,f2,f3,f4,f5,f6},是函数的复合运算。试求F,的所有子群。解：先写出群表。因|F|=6，F,的子群只能是1、2、3、6阶群。平凡子群：{f1},,F,从群表可以看出：2阶子群：{f1,f2},{f1,f3},{f1,f6}3阶子群：{f1,f4,f5}62、拉格朗日定理（4）(续前页)令H={f1,f4,f5}，H,是F,的子群。求F={f1,f2,f3,f4,f5,f6}中的各元素所确定的H在F中的所有左陪集。f1H={f1,f4,f5}f2H={f2,f3,f6}f3H={f2,f3,f6}=f2Hf4H={f1,f4,f5}=f1Hf5H={f1,f4,f5}=f1Hf6H={f2,f3,f6}=f2H从此例看到，由群F,的子群H,所确定的所有不同左陪集({f1,f4,f5}，{f2,f3,f6})中只有一个是子群(参见P212习题6)；任意两个左陪集要么相等,要么它们无公共元素(参见P212习题7)。同一子群的每个左陪集中的元素的个数等于该子群的阶数。73、拉格朗日定理的推论推论1质数阶群没有非平凡子群。证：（反证法）假设质数阶群G,*有非平凡子群H,*，则|H|（1|H||G|）是|G|的因子，与|G|为质数矛盾。推论2设G,*是n阶有限群，e为幺元。则G中任意元素a的阶必是n的因子，且an=e。如n为质数，则G,*是循环群。证：若aG,a的阶数为m，则{a,a2,…,am},*是G的子群（可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根据拉格朗日定理，m|n。令n=m.g,则an=am.g=(am)g=eg=e。如果n为质数，设任意aG，ae,a的阶数为m(1)。令G’={a,a2,…,am},*，则G’是G的循环子群。如上所证，m应是n的一个因子，已知n为质数，故m=n,从而G=G’。