选修4-4简单曲线的极坐标方程

彭水民族中学1.3简单曲线的极坐标方程彭水民族中学3、极坐标与直角坐标的互化公式复习1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,0(1)、直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)(2)、极坐标是(ρ,θ)直角坐标是(x,y)彭水民族中学(1)曲线C上点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解;(2)以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上.在直角坐标系中,如果某曲线C可以用方程f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下的关系:在极坐标中,曲线Ｃ上任一点的坐标是否符合方程f(,)=0；xyOM(x,y)rCx2+y2=r2彭水民族中学曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。彭水民族中学xyOM(x,y)2Cx2+y2=22M(ρ,θ)M(2,θ)ρ=2两种方程能不能互化彭水民族中学探究:如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)O彭水民族中学C(a,0)OxM(,)θ)1.(..........cos2),(,＝即中以外的任意一点，那么OMAM。，为圆上除点设＝，那么解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点是Aa|OA|cosOM在RtDAMOAOMOA)1()0,2(),2,0(的坐标满足等式可以验证，点aAOA的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(能否写出对应直角坐标方程两种方程能不能互化彭水民族中学C(a,0)Ox圆的极坐标方程：M(,)θcos2a思路分析：（1）任取一点，标出与（2）找出边角共存的三角形（3）列出三角形的边角关系式（4）对特殊点作检验彭水民族中学例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为3；(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)中心在(a,/2)，半径为a；＝3＝a若r＝aC(a,0)OxM(,)θA＝2acosθAC(a,/2)OxM(,)＝2asin彭水民族中学(４)中心在Ｃ(a,０)，半径为aθAC(a,０)OxM(,)0cos()a＝２彭水民族中学练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDCθAC(a,０)OxM(,)41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即＝解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程彭水民族中学5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为－＝得两边同乘以＝解：yxyxyx53co3s5sin已知一个圆的方程是＝求圆心坐标例：和半径。彭水民族中学14sin练习：、曲线的极坐标方程＝化为直角坐标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.曲线极坐标方程cos(-)=1化为直角坐6标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿4)2(22yx20xy３彭水民族中学222223020xyxyxyxyx（１）直角坐标方程的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（２）直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（３）直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿（４）直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿例２：＿＿＿＿＿cos3sin0２－２cossin10２3cos3彭水民族中学sin(4)练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线（１）　＝２cos(-)4(2)＝cos(-)3(3)＝3　　＝６彭水民族中学极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少22例1:彭水民族中学直线的极坐标方程彭水民族中学答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？彭水民族中学例题1：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。4oMx﹚4分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其/4极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为(0)4新课讲授彭水民族中学1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。54易得5(0)4思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。4544或彭水民族中学和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R和5()4R彭水民族中学例题2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点(,)M为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有RtMOADcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。a彭水民族中学求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。o﹚AMa彭水民族中学例题3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11θ解：如图，设点(,)M点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知,OMxOM1OP1xOP在中MOPD1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是它的解。彭水民族中学１.小结：（1）曲线的极坐标方程概念（2）圆的极坐标方程2.直线的几种极坐标方程1)过极点2)过某个定点，且垂直于极轴3)过某个定点，且与极轴成一定的角度