误差理论第四章测量不确定度

1第四章测量不确定度•§4-1测量不确定度的基本概念•§4-2标准不确定度的评定•§4-3测量不确定度的合成•§4-4测量不确定度应用实例因测量误差的存在，被测量真值难以确定，需评价其测量结果质量的高低。测量不确定度就是评价测量质量高低的一个重要指标。其值愈小，精度愈高，测量水平愈高，使用价值也愈大。2一、概述“测量不确定度”起源于1927年德国，又称测不准关系。经多年发展，已成为国际上用来评价测量质量高低的统一概念。二、测量不确定度定义测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。定义表明一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分。§4-1测量不确定度的基本概念3对一实际测量过程，影响测量结果精度有多方因素，因此测量不确定度一般包含几个分量，各不确定度分量不论其性质如何，可用下面两种方法评定：①A类评定：测量不确定度一般包含若干个分量，其中一些分量由一系列观测数据的统计分析来评定。②B类评定：另一些分量不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。所有的不确定度分量均用标准差表征。三、测量不确定度和误差测量不确定度和误差是误差理论中两个重要概念。（一）共同点：都是评价测量结果质量高低的重要指标；都可作为测量结果的精度评定参数。4（二）区别①从定义上：误差是测量结果与真值之差，以真值或约定真值为中心，误差是一理想概念，一般不能准确知道。测量不确定度是以被测量的估计值为中心，是可以定量评定的。②从分类上：误差按自身特征和性质分为系统误差、随机误差和粗大误差，并可采取措施来减小和消除各类误差对测量的影响，但在分类判别和误差计算时不易把握。测量不确定度不按性质分类，按评定方法分为A类评定和B类评定，两类评定方法不分优劣，按实际情况的可能性加以选用。5（三）联系①误差是不确定度的基础，研究不确定度首先需研究误差；②用测量不确定度代替误差表示测量结果精度，易于理解、便于评定，具有合理性和实用性；③测量不确定度的内容不能包罗更不能取代误差理论的所有内容。6§4-2标准不确定度的评定标准不确定度是用标准差表征的不确定度，用u表示，其分量用ui表示.一、标准不确定度的A类评定A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差σ，即u=σ。12,,,.1iiNyiixixjiiYXXXYyuXxuxuNxxN设被测量取决于N个量则的估计值的不确定度，取决于的估计值的标准不确定度。因此先评定的。即在其它个保持不变的条件下，仅对进行次等精度独立测量，用统计法求得单次测量标准差。7iiiixiixiixxuXxuXxuNii则的标准不确定度为：1）当用单次测量值作为的估计值，则=。2）当用N次测量的平均值作为的估计值，则=。二、标准不确定度的B类评定B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法如经验、资料、手册、说明书等来评定并得到标准不确定度。因此，先根据实际情况对测量值进行一定的分布假设，常用的有：iiPxPxxxxaKuKXUKUuK1）当测量估计值受到多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由置信概率P和分布区间半宽a与包含因子来估计不确定度，=。2）当取自资料，所给出的测量不确定度为标准差的倍时，则标准不确定度，=。8,3,ixxxxaxaxauxxxaxau3）若由信息知估计值落在区间内的概率为1，且在区间内各处出现机会相等，则服从均匀分布，标准不确定度为：=4）当受两个独立且皆具有均匀分布的因素影响，则服从在区间内的三角分布，其标准不确定度为：65,2xaxxaxaau=）当估计值服从在区间内的反正弦分布，则：=三、自由度及其确定（一）自由度概念2121niiiiniinvvnvKnnKvnK在个变量的平方和中，如果个之间存在个独立线性约束条件，即个变量中独立变量的个数为，则称平方和的自由度为：9可知，系列测量的标准差的可信赖程度与自由度有密切关系，自由度愈大，标准差愈可信赖。将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称为不确定度的自由度。（二）自由度的确定1）标准不确定度A类评定的自由度1vvn对A类评定的标准不确定度，其自由度即为标准差的自由度。标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，可由相应公式计算出不同的自由度（见表4-1）如用贝塞尔法计算，自由度102）标准不确定度B类评定的自由度212uuuuuvvuuuu对B类评定的标准不确定度，由估计的相对标准差来确定其自由度，即：式中：为评定的标准差；为评定的相对标准差。相对标准差所对自由度见P83表4-211§4-3测量不确定度的合成一、合成标准不确定度当测量结果受多种因素影响形成若干不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度uc表示。首先分析各种影响因素与测量结果的关系，准确评定各不确定度分量，再进行合成标准不确定度计算。1212,,,,,,,iNNixiYyNxxxyfxxxxufx1)设在间接测量中，被测量的估计值是由个其它量的测得值的函数求得，即。且各直接测得值的测量标准不确定度为它对被测量估计值影响的传递系数为。12222,0,1,1,iijicxijxxiijijijcxiijijijijcifffuuuuxxxxxfuuxffffxxxxfux则合成标准不确定度为：当的不确定度相互独立，则当，同号时，或，异号时，则ixu22iciijijuuuuu2)若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有明确的函数关系，则按具体情况按A类评定或B类评定方法来确定各不确定度分量的值，则：13cYyYyu用合成标准不确定度作为被测量的估计值的测量不确定度，其测量结果表示为：二、展伸不确定度在实际工作中，要求给出的测量结果区间包含被测量真值的置信概率较大，此时须用展伸不确定度表示测量结果。ccppcpuKUUKuYyUKttKtuPtt展伸不确定度由合成标准不确定度乘以包含因子，记为：则用展伸不确定度作为测量不确定度，其测量结果表示为：包含因子由分布的临近值给出，即。为合成标准不确定度的自由度；由置信概率与自由度查分布表，得到的值。1444123iccNiiiiiuuuuuK当各不确定度分量相互独立时，合成标准不确定度的自由度为：为各标准不确定度分量的自由度。由于计算有时很困难，为了求展伸不确定度，一般可取。三、不确定度的报告（一）报告的基本内容2),,cccuuUUuPK1)当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出及其自由度。当测量不确定度用展伸不确定度表示时，应给出，并说明，。15（二）测量结果的表示cu1)当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，可用以下方式表示测量结果。gYdgYcgYbmgugyac)00035.002147.100(.)00035.0(02147.100.)35(02147.100.35.0,02147.100.ccccuuuub中括号里的数为的数值，的末位与y值的末位对齐，单位相同；c中括号里的数为的数值与y的单位相同d中符号后的数为的数值。16(100.021470.00071)0.00071,0.352.260.959ccUYyUgUKugumgKKP2)当测量不确定度用展伸不确定度表示时，可用以下方式表示测量结果:其中，展伸不确定度是由合成不确定度和包含因子确定的，是依据置信概率和自由度，并由t分布表查得的。注：因该表示方式与1）中d的表示形式相同，为避免混淆，应给出相应说明。100.02147,0.00035%cygu3)测量不确定度也可用相对不确定度形式给出报告。即测量结果可表示为:174）注意事项：最后报告的合成不确定度或展伸不确定度，其有效数字一般不超过两位；不确定度的数值与被测量的估计值末位对齐；若计算出的合成不确定度或展伸不确定度的位数较多，作为最后的报告值时就要修约，依据“三分之一准则”将多余的位数舍去。举例见笔记P4718§4-4测量不确定度应用实例一、测量不确定度计算步骤1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量；2）计算各分量的传递系数；3）评定标准不确定度分量，给出其数值和自由度；4）分析各不确定度分量的相关性，确定各相关系数；5）求测量结果的合成标准不确定度uc和自由度；若有必要，给出展伸不确定度U；6）给出不确定度报告，以规定的方式报告被测量的估计值及合成标准不确定度或展伸不确定度，并说明获知它们的细节。19例1：测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.1151.计算D、h的平均值，求V的估计值（单个计算求平均如何？）348.8062mmhVD2.不确定度评定（1）D的测量重复性引起的标准不确定度分量1u203110.0048,0.77,615DDDVDummDhVuummD因，则：（2）h的测量重复性引起的标准不确定度分量2u23220.0026,40.21,615hhhVDummhVuummh因，则：（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量3u22330.010.010.0058,31.04mmummVVuuummDh仪仪仪仪器说明书：测微仪的示值误差范围，取均匀分布,则：因此：[phone]%142(0.35)uu设相对标准差，对应的自由度为：3、不确定度合成222312301.3ijcuuuumm因，则体积测量的合成标准不确定度为：44317.86,8ciiiuuv则其自由度为：取＝4、展伸不确定度取置信概率P＝0.95，查t分布表得包含因子31.2)8(95.0tk22于是，体积测量的展伸不确定度为：33.0,8cUkumm＝5、不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果33806.8,1.3,7.86cVmmumm2）用展伸不确定度表示测量结果8,95.0,)0.38.806(3PmmV333.01.3,2.31ccUkummummk其中，号后的数值表示展伸不确定度：是由合成标准不确定度及包含因子确定。23例2：用标准数字电压表在标准条件下测直流电压源的输出电压10次，测得值（V）：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.0000941、计算电压估计值10.000104VV2、不确定度评定（1）标准电压表示值稳定度引起的标准不确定度分量112415158.7,3hVuV已知内该测点的示值稳定度不超过，取均匀分布，则24（2）标准电压表示值误差引起的标准不确定度分量66223.5103.5101011.7,3UuV检定证书：示值误差（示值），按3倍标准差计算，则：（3）电压测量重复性引起的标准不确定度分量339,2.8,2.8,1019VVVVuV由Bessel公式计算得：因此：3、不确定度合成74121585.143432421414232221uuuuVuuuucc254、展伸不确定度0.95,7412,1.962