误差理论第三章误差合成与分配

1第三章误差的合成与分配•§3-1函数误差•§3-2随机误差的合成•§3-3系统误差的合成•§3-4系统误差与随机误差的合成•§3-5误差分配•§3-6微小误差取舍准则•§3-7最佳测量方案的确定任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同作用的结果。误差合成研究测量过程中各个环节的误差因素对最终测量结果的影响；误差分配是给定测量结果的允许误差，要求确定各个环节的误差。2§3-1函数误差间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量值的函数，即函数误差。一、函数系统误差计算1212121212,,,,nnnnniyfxxxxxxyfffdydxdxdxxxxxxxdx间接测量时，函数形式为：=其中，，，，为直接测量值；为间接测量值。由高数知，其增量可由微分来表示，即：由于直接测得值的系统误差，，，皆较小，可用来代替上式中的。312121,2,,nnifffyxxxxxxfinx因此，函数的系统误差为：其中，为各个直接测量值的误差传递系数。112211221212121122sin,,,,sinsin1coscosnnnnnnnyaxaxaxyaxaxaxfxxxfffxxxxxxffxxx1)当函数形式为线性公式：函数的系统误差为：）当函数为三角函数时：则三角函数的系统误差为：而角度系统误差为：2nnfxxx12111cos,,,,sinnnnfffxxxxxxx同理其它三角函数的角度系统误差为：对42121121211tan,,,,coscot,,,,sinnnnnnnfffxxxxxxxfffxxxxxxx对对二、函数随机误差计算函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值xi的标准差之间的关系。设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：11112122122112:,,,:,,,:,,,NNnnnnNxxxxxxxxxxxx对对对例3.1用弓高弦长法间接测量大直径。见书P56例3.2用双圆球法检定高精度内锥角。见书P5751112111221222212nnnnfffyxxxxxxfffyxxxxxx则函数y的随机误差为：1212NNNnNnfffyxxxxxx22221112111111222222122222211222nnijijnijnnijijnijfffffyxxxxxxxxxxfffffyxxxxxxxxxx将上式每个方程两边平方得:2222121122nNNNnNiNjNijnijfffffyxxxxxxxxxx62222222121112112222222221222122112NNNnnnNnnNimjmijmijfyyyxxxxffxxxxxxxxffxxxx则12222222211122nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN将上式两边同时除以N，则有：1,NimjmijmijijijijxixjxixjxxkkkN令1222222221122nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx此式即为函数随机误差公式。为第i个测量值与第j个测量值之间的误差相关系数712122222221200nNimjmmijijyxxxnxxkNfffxxx若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，，即则121222222212222222lim1lim2limlim,nniyxxnxiyxxnxfaaaaxaaa令则当各个测量值的随机误差为正态分布时，则函数的极限误差为：三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基本相同，其角度标准差为：1212222222121222222212121sin,,,,cos1cos,,,,sinnnnxxnxnxxnxfxxxaaafxxxaaa1)对2)对812122222222121222222221212tan,,,,coscot,,,,sin,nninxxnxnxxnxxfxxxaaafxxxaaa3)对2)对同理可用极限误差来代替上式中的各和即得到以极限误差来表示的角度误差。例3.3用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61例3.4用双圆球法检定高精度内锥角。见书P619三、误差间的相关关系和相关系数误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。（一）误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强时，其相关系数为1。121222222212122nijnyxxnxijxxxxnxaaaaaaaaij即=1,则即两误差间具有确定的线性函数关系。ij当联系最弱时，即=0,表明一误差的取值与另一误差取值无关。1011011kD(二）相关系数若两误差与之间的相关系数为:其取值范围-1当0时，与是正相关，即一误差增大时，另一误差的取值也增大。当-1时，与是负相关，即一误差增大时，另一误差的取值减少。当时，为完全正相关；当时，为完全负相关，与之间存在确定0线性函数关系。当时，与之间不相关，即一误差增大时，另一误差可能增大，也可能减少，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。两误差间的协方差两误差的标准差11确定两误差间的相关系数，可采用以下几种方法。1、直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一误差增大，另一成比例地增加时，则认为ρ=1。2、试验观察和简略计算法1)观察法：用多组测量的对应值（ξi，ηi）作图，与标准图形相比。1312342),,,,iiinnnnnnn简单计算法：将多组（）在平面坐标上作图，分别用垂直于两坐标轴的线A、B，将点阵左右均分、上下均分，设各部分的点数分别为。则-cos注：画图比较12223),iiiiii直接计算法：根据对应值（），按定义直接计算得：3、理论计算法可根据概率论和最小二乘法直接求出。如果两误差ξ与η间为线性关系，即ξ=aη+b，则相关系数ρ=1（a0);ρ=-1（a0);3.5Va=161.6mm,b=44.5mm,c=11.2mm0.8,0.5,0.5,abcmmmmmm例为求长方体体积，直接测量其各边长为：。已知测量的系统误差为：a=1.2mm,b=-0.8mm,c=0.5mm.测量的极限误差为：试求长方体的体积及其体积的极限误差。13§3-2随机误差的合成随机误差用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。其合成采用方和根的方法，同时考虑各个误差传递系数和误差间的相关性影响。一、标准差的合成121222,,,,20qqiiijijijijiiqaaaaaaa若测量过程中有个单项随机误差，它们的标准差分别为，其相应的误差传递系数为,。则根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总误差为：一般情况下各个误差互不相关，即相关系数，则有：用标准差合成，不管各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，即可按上式计算总的标准差。14二、极限误差的合成21,2,,iiiiitiqttt）当各单项极限误差的置信概率不同时，应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将极限误差转换为标准差，再求总的极限误差。对各单项极限误差式中：各单项随机误差的标准差；各单项随机误差的置信系数。则总的极限误差为：式中：合成后的总标准差；合成后总标准差的置信系数。12122,,,,2qqiiijijijijaaaaaa用极限误差来表示随机误差，若已知各单项极限误差为，。各误差传递系数为,。1）当各误差的置信概率相同，则按方和根法合成的总极限误差为：式中，为任意两误差间的相关系数。152212222220iiijijijjiiiijijiijqiiijijijijiittaaaataatttttttaaaa则当各个单项随机误差均服从正态分布时，即则一般情况下，，则：16§3-3系统误差的合成系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差，由于这两种误差的特点不同，所以合成方法也不同。一、已定系统误差的合成已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。1212,,,,rriiraaaa在测量过程中，若有个单项已定系统误差，其相应的误差传递系数为,。则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为：通常先计算出已定系统误差，从测量结果中修正，因此最后的测量结果中一般不再包含已定系统误差。17二、未定系统误差的合成（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围±ei的系统误差。未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量其值固定不变，不具有抵偿性；但当测量条件改变时，其取值在某一范围内具有随机性，且服从一定的概率分布。这与随机误差相似，因此可以采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。（二）未定系统误差的合成由于未定系统误差的取值具有随机性，因此若干项未定系统误差综合作用时，它们之间具有一定的抵偿作用，这与随机误差相似。1）用标准差来合成18121222,,,,,2ssiiijijijijiisuuaaauauaauuuau在测量过程中，若有个单项未定系统误差，它们的标准差分别为，u其相应的误差传递系数为,。则合成后未定系统误差的总标准差为：当=0时，2222iiiiiijijijjiiiijijiijijetuetutauaauueaeetaattt各个单项未定系统误差的极限误差为：。总的未定系统误差的极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且=0时，则2iieae2）用极限误差来合成19§3-4系统误差与随机误差的合成当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，用用极限误差或标准差来表示。一、按极