误差理论与数据处理-第二章2

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院测量过程中系统误差往往伴随着随机误差一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。本章讨论系统误差的来源、分类以及对测量结果的影响，发现和检验系统误差的方法，以及消除系统误差的基本方法。第2节系统误差系统误差：指固定不变或按一定规律变化的误差。（服从某种规律）BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学2/80一、系统误差的分类：系统误差按照表现形式分为：(1)定值误差(恒定系统误差）：测量过程中的任何时刻，误差的大小和正负符号恒定不变的误差为定值误差。千分尺误差调零。(2)变值系统误差：误差的大小和正负符号按一定规律变化的误差。变值系统误差又可以分为：BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学3/80a累进(线性)系统误差：误差随测量过程的时间（或被测量值）的延伸而呈线性递增或递减。如检定标尺时，温度影响随被测定长度误差b.周期误差：误差按周期规律变化。测量仪表与指针中心偏心引起的示值误差随转角成周期性变化。c.复杂系统误差：误差的变化规律比较复杂，如导轨的直线度误差，刻度分度不规则引起的示值误差。BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学4/80二．系统误差的产生原因1.测量装置方面的因素：如齿轮齿条线位移与角位移不成任何比例，天平的臂长不等。2.环境方面的因素：实际温度对标准温度的偏差。3.测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式。4.测量人员方面的因素系统误差的特征(补充系统误差的分类部分)系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按照一定规律变化。或者该系统误差就是服从某一确定规律变化的误差。BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学5/80系统误差类型图a.不变的系统误差b.线性变化的系统误差c.非线性变化d.周期性变化e.复杂规律举例：a.不变误差公称尺寸10mm试件，实测10.001mm，则-0.001为误差。b.标准刻尺，每一刻度实际相距（1+△L）,与另一长度的比值K，则被测长度为：L=K(1+△L)=K+K△L即若测量长度实际值为K,则误差为-K△Lc.周期误差见图仪器回转中心与刻度盘中心有偏差值e，读数误差为△L=esinφcbde△t0aBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学6/801．影响测量最佳值的估计设有一组常量测量数据中分别存在系统误差和随机误差，真值记为1,2,...,nxxx12,,...,n12,,...,n0x则这组测量数据的算术平均值001111()iiiioixxxxnnnn表明系统误差一般不具有抵偿性，即10in系统误差会影响对算术平均值的估计三、系统误差对测量结果的影响BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学7/802.可变系统误差影响测量结果分散性的估计测量数据的残余误差0011()()iiiiiiiixxxxnn对于恒定系统误差，上式第二项为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响1()iin对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学8/80由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。可变系统误差恒定系统误差小结BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学9/80四.系统误差的发现为消除或减小系统误差，首先要发现系统误差才行。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析--非常难。目前尚无普适方法。以下只介绍几种常用的方法(一)定值系统误差研究方法⒈实验对比法(1)原理：实验对比法是改变系统误差的条件进行不同条件的测量以发现误差。(2)适用性：用于不变系统误差(3)例子：用两种不同测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者的算术平均值之差即为定值系统误差。量块、标准环的鉴定即为对比法的具体应用。BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学10/80(二)残余误差观察法（统计法）1.原理：根据测量列的各个残余误差大小和符号变化规律，直接从误差数据(或曲线)判断有无系统误差2.适用性：发现有规律变化的系统误差，如线性、周期BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学11/803.准则：若测量列相应系统误差不含系统误差之值为：则有：算术平均值为nllll,,.........,,321nllll,,.........,,321''3'2'1,,,,nllllnnnlllllllll'2'221'11xxx'BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学12/80有若系统误差显著大于随机误差，可忽略，有：说明：(1)显著含有系统误差的测量列，其任意测量值的残余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差。'''iiiivxlvxl)('xlvviii'iv测量列系统误差平均值系统误差xlviiBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学13/80(2)准则(p36图2-16)：a.大体上正负相间，且无显著变化规律，则无根据怀疑存在系统误差b.有规律递增或递减，且在测量开始与结束时，误差符号相反，则存在线性系统误差c.符号有规律的逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性变化。d.若残余误差按照一定图变化时，则应怀疑同时存在线性误差和周期误差。e.对于不变系统误差难以判断。iviv)('xlvviiiivBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学14/80(三)残余误差校核法（残差统计法）1．前后分组核算法(1)原理：将测量列中前k个残余误差相加，后(n-k)个残余误差相加。当n为偶数两者相减：当n足够大时，随机误差：2)1(,2nknnk为奇数，)()(111'1'11xlxlvvvvjnkjkiinkjjkiinkjjkii01'1'nkjjkiivvBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学15/80有：(2)准则：a)Δ显著不为零认为测量列存在线性系统误差又称马利科夫准则b)Δ=0仍有可能存在系统误差)()(1111xlxlvvjnkjkiinkjjkiiBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学16/80（3）和检验法记分别为前后各半残差和引入统计量（检验显著递增和递减误差）若则存在显著的线性变化或递增、递减系统误差。nkjjkiivv11nkjjkiivv11nvvnkjjkii211BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学17/802.周期系统误差1)原理：若一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为如存在按此顺序呈周期性变化的系统误差，则相邻两个残余误差的差值()符号也将出现周期性的正负号变化。故()可以判断是否存在周期性系统误差。nv......v,v,v3211iivv1iivvBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学18/802)说明：a)周期性误差占主要成份时，上述方法才有效。b)当符号变化主要取决于随机误差时，可用统计准则进行判断，令:若：或则认为测量列中含有周期性系统误差。该法又称阿卑—赫梅特准则，它可有效发现周期性系统误差。22112112122;nnknkkkvvvAvvBk1iivvnnniiivvvvvvvvu1322111121nu121nABBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学19/803.小样本序差检验法nknkkkkvAvvB121121;设则有：上式不成立，则有显著的可变系统误差。pAB2BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学20/80(四)不同公式计算标准差比较法(1)原理对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较发现系统误差，按贝塞尔公式：按别捷尔斯公式：令：若则怀疑测量列中存在系统误差。1121nvnii)1(45)1(253.112nnvnnviniiu11212nuBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学21/80(2)说明：a.n有限时，有一定差异b.若测量列服从正态分布，则u亦服从正态分布且标准差为则用作为判断存在系统误差的标志，但类型难定；c.当即书中介绍21,),(21n11nunzu,2%,44.95,3%,73.99tpztpBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学22/80(五)计算数据比较法1．原理：对同一量进行多组测量，会得到很多数据，通过多组计算数据的比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。•对同一量独立测得m组结果，并知它们的算术平均值和标准差mmxxxx,,,,,,,,332211BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学23/80则任意两组结果之差为则任意两组结果与之间不存在系统误差的标志是：2)说明：系统误差存在，但形式难定。jixx22jiixjx222jijixxBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学24/80(六)秩和检验法1、原理：对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差。可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。2、方法：若独立测得两组的数据为：yjxinjynix,,3,2,1,,,3,2,1,BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学25/80将其混合，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序(即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。①两组的测量次数据较少的组的次数n1和测量较多的组的次数n2，由秩和检验表查得(显著度0.05)，若则无根据怀疑两组间存在系统误差。10,21nnTT,TTTBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学26/80②当此时T-和T+可由正态分布算出由数学期望α和标准差σ,得选取概率积分由正态分布积分表查，若则无根据怀疑两组间存在系统误差近似的服从正态分布,10,21nn标准差数学期望12)1(,2)1(2121211nnnnnnnNaaTttaT,)(tatattBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学27/80例如：对某测量列两组数据如下，判断两组间有无系统误差(书P40例2-16)解：先混合排列由大到小xi14.714.815.215.6y