初二数学矩形菱形正方形归类复习

初二数学矩形菱形正方形1．矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．两者缺一不可．(2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质．②矩形的四个角都是直角．如图，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，又由邻角互补、对角相等可得∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.③矩形的对角线相等．如上图，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC为公共边，可得△ABC≌△DCB.从而证得AC＝BD.其推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.④矩形既是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)(20．4节讲到)，又是轴对称图形(有两条对称轴)．①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等．②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形．【例1】如图所示，在矩形ABCD中，∠CAD＝30°，CD＝5cm，求矩形ABCD的周长(精确到0.1)．解：连接BD交AC于点O.在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝10(cm)．在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝102－52＝75≈8.66(cm)．∴AB＋BC＋CD＋DA＝2(AD＋DC)＝2×(8.66＋5)≈27.3(cm)．∴矩形ABCD的周长约为27.3cm.2．直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图所示，由矩形的对角线相等可知，AC＝BD.又因为矩形的对角线互相平分，所以OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD.所以OA＝OB＝OC＝OD.所以在Rt△ABC中，斜边上的中线OB＝12AC.直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．这一性质常常用来证明线段的倍分关系．【例2】如图，BD，CE是△ABC的两条高，G，F分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE.分析：有三角形的高就会出现直角三角形，有中点就可以联想到直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质．证明：连接EG，DG.因为BD，CE是△ABC的两条高，所以△BDC和△BEC都是直角三角形．又因为G是BC的中点，所以DG＝12BC＝EG，即△GDE是等腰三角形．因为F是DE的中点，所以GF是等腰三角形GDE的底边DE上的中线．所以GF是底边DE上的高．所以FG⊥DE.3．矩形的判定(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)方法一：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)方法二：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的定义也是矩形判定方法中的一个矩形的判定可用下图表示：①用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．②用方法一判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．【例3】如图所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC与EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．分析：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，即具体情况具体分析．证明：连接AF，CE.∵EF和AC互相平分，∴四边形AECF是平行四边形．∴AB∥CD，CF＝AE.又∵DF＝BE，∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．4．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，当把平行四边形的一条边平移后，使邻边相等，平行四边形就变成了菱形．菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形.①菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．②菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法．【例4】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．分析：由菱形的定义去判定，由DE∥AC，DF∥BC可得四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2，证得邻边相等即可．解：四边形DECF是菱形．理由：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.∵DF∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴CF＝DF.∴四边形DECF是菱形．5．菱形的性质菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外它也具有自己特殊的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴即每条对角线所在的直线；(4)菱形的面积等于对角线乘积的一半．①由于菱形对角线互相垂直平分，故菱形可被两条对角线分成四个全等的直角三角形，这样容易与勾股定理联系起来；②菱形的面积除了用对角线计算之外，也可以用底乘以高来计算．即菱形的面积有两种求法．【例5】如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为()．A．5B．6C．8D．10解析：设AC，BD相交于点O，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以AO＝3，BO＝4，根据勾股定理，AB＝5.答案：A6．菱形的判定(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．(2)方法一：四边都相等的四边形是菱形．(3)方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形的判定方法可用下图表示：判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定．若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形的条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直即可．【例6】如图所示，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.又EF是AC的垂直平分线，所以OA＝OC.所以△AOE≌△COF.所以OE＝OF.所以AC与EF互相垂直平分．所以四边形AFCE是菱形．7．正方形的定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．正方形与矩形、菱形的关系可用下图表示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；②既是矩形又是菱形的四边形是正方形；③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．【例7】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB.同理可得DF∥BC.∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形．又∠ABC＝90°，∴四边形BEDF是正方形．8．正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质．(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴．【例8】如图所示，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC.求证：FN＝EC.证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°.因为AB＝2BC，所以EN＝BC.所以△FNE≌△ECB.所以FN＝EC.9．正方形的判定(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角．【例9】如图所示，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO.又因为△ACE是等边三角形，所以EO⊥AC，即DB⊥AC.所以平行四边形ABCD是菱形．因为△ACE是等边三角形，所以∠AEC＝60°.所以∠AEO＝12∠AEC＝30°.因为∠AED＝2∠EAD，所以∠EAD＝15°.所以∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.因为四边形ABCD是菱形，所以∠ADC＝2∠ADO＝90°.所以四边形ABCD是正方形．10．矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质．应从边、角、对角线三个方面区分它们的性质：(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边相等的性质；(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都等于90°的性质；(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质，菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质．【例10】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°.求∠AFE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.(2)解：∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.11．矩形、菱形、正方形判定的综合运用几种特殊平行四边形的判定方法可用下图表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，当平行四边形的一个内角变为直角时(角特殊化了)，平行四边形变成矩形；当平行四边形的邻边变为相等时(边特殊化了)，平行四边形变成菱形；当平行四边形的一个内角变为直角，一组邻边变为相等时(角、边均特殊化了)，平行四边形变为正方形．【例11】已知如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)试说明BE＝DF的理由；(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并说明你的理由．解：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.因为AE＝AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF.所以BE＝DF.(2)四边形AEMF是菱形．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.因为BE＝DF，所以BC－BE＝DC－DF.即CE＝CF.又OC为公共边，∴△EOC≌△FOC.所以OE＝OF.因为OM＝OA，所以四边形AEMF是平行四边形．因为AE＝AF，所以平行四边形AEMF是菱形．12．特殊四边形的探究题平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合探究题在中考中常出现．它还能与其他知识综合考查，如等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，综合运用性质和判定进行推理是解此类题的关键．矩形、菱形、正方形问题在中考中的比重近年来有加大的趋势，不但有选择题、填空题、解