高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案)

正余弦定理常见解题类型1．解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1已知在ABC△中，4526Aac，，，解此三角形．解：由余弦定理得22(6)26cos454bb，从而有31b．又222(6)222cosbbC，得1cos2C，60C或120C．75B或15B．因此，31b，60C，75B或31b，120C，15B．注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．2．判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin2sin2sinaRAbRBcRC，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：ABC；利用余弦定理公式222222coscos22bcaacbABbcac，，222cos2abcCab，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．例2在ABC△中，若2222sinsin2coscosbCcBbcBC，判定三角形的形状．解：由正弦定理2sinsinsinabcRABC，为ABC△外接圆的半径，可将原式化为22228sinsin8sinsincoscosRBCRBCBC，sinsin0BC∵，sinsincoscosBCBC，即cos()0BC．90BC，即90A，故ABC△为直角三角形．3．求三角形中边或角的范围例3在ABC△中，若3CB，求cb的取值范围．解：ABC，4AB．04B．可得210sin2B．又2sinsin334sinsinsincCBBbBB∵，2134sin3B．故13cb．点评：此题的解答容易忽视隐含条件B的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．4．三角形中的恒等式证明根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．例4在ABC△中，若2()abbc，求证：2AB．证明：2222cos2222acbbccbcaBacacab∵，22222222222cos22cos1214222aabbbcbcbBBbbbb．又222222()cos222bcabcbcbcbAbcbcb∵，coscos2AB，而AB，是三角形内角，2AB．一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．