特殊三角形的存在性问题

特殊三角形的存在性问题一、考试说明：C层•考试说明指出：等腰三角形与直角三角形的考试要求是“C层”：会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题。•此要求属于灵活运用，即：“能通过观察、实验、推理等活动，发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决”。二、设计本课题的目的：•特殊三角形的存在性问题主要是“已知两个点，然后按要求求出第三个点，使这三个点所组成的三角形是某种特殊三角形。”•此类问题属于等腰三角形与直角三角形的一个灵活应用，主要出现在综合题和较难填空题中。题目类型有：求符合要求的点的坐标，或者符合要求的三角形个数问题。•解决此类问题不仅要掌握特殊三角形的有关性质，而且还需综合运用其他的知识，比如勾股定理、相似等内容，以及分类讨论、方程等思想方法来解决。•学生在处理“等腰三角形和直角三角形的存在性问题”时，经常出现“考虑不全面”、“不会分类讨论”等现象，导致学生对于这类问题比较“提心吊胆”。•本课例主要针对这类问题，通过例题讲解，总结规律，得出一些学生“容易抓手”的方法，使学生在紧张的考试环境下“临危不惧”，有条不紊的得出所有符合题意的答案，达到“化弱项为强项”的目的。三、与此相关的试题：（以近几年北京市各区模拟题为例）•1、等腰三角形的存在性（菱形的存在性与此类似）：2010石景山二模25题、2010朝阳二模12题、2010宣武二模23题、2007石景山一模24题；•2、直角三角形的存在性（矩形的存在性与此类似）：2010崇文二模24题、2010丰台一模25题、2009崇文一模24题、2007东城二模25题、2007石景山一模25题、2007崇文一模24题。类型一：探究等腰三角形的存在性例1：平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B（1,0），点C是坐标轴上的点，并且△ABC为等腰三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。54321-1-2-3-4-6-4-2246BAO分析：•因为没有指明等腰三角形的哪两条边相等，因此此类问题要分三种情况进行分类讨论：•（ⅰ）以AB为底边：即CA=CB，•（ⅱ）以AB为腰，且A点是等腰三角形顶角的顶点，即AB=AC。•（ⅲ）以AB为腰，且B点是等腰三角形顶角的顶点，即BA=BC。4321-1-2-3-4-224C1C2BAO4321-1-2-3-4-224C4C3BAO4321-1-2-3-4-224C5C6BAO由勾股定理的相关知识容易得到：13C(0,)3，2C(-1,0)，3C(0,3+2)，4C(0,3-2)，5C(0,3)，6C(3,0)小结：一线两圆•已知线段AB，若△ABC为等腰三角形，那么C点的位置如何确定？•结论是：点C在一线两圆上。ABC1C2C3练习1：•平面直角坐标系中，已知A(-3,0)，B（2,5），点C是坐标轴上的点，并且△ABC为等腰三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。12108642-2-4-6-8-15-10-551015BA练习2：•等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。点P是BC的垂直平分线上的一个动点。请找出所有的满足△PAB、△PCD都是等腰三角形的点P，并求出点P到BC的距离。ABDC例2：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B（5,0），点C是直线2yx上的点，并且△ABC为等腰三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214BA分析：还是要分三种情况进行讨论87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C1BA87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C3C2BA87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C5C4BA此题中，符合要求的点容易找到，但求法稍复杂，需要设未知数，利用勾股定理或者相似来求解87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C3C2BA设(,-2)Ctt，由勾股定理可得：222-1-2)4tt（）（解得331=2t所以2331131(,)22C，3331131(,)22C。综合1：（10石景山二模第25题）（3）若点P是直线1x上一点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．ACByxO类型二：探究直角三角形的存在性例3：平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B（1,0），点C是坐标轴上的点，并且△ABC为直角三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。54321-1-2-3-4-6-4-2246BAO分析：•因为没有指明直角三角形的哪个角是直角，因此此类问题要分三种情况进行分类讨论：•（ⅰ）以C为直角顶点•（ⅱ）以A为直角顶点•（ⅲ）以B为直角顶点54321-1-2-3-4-6-4-2246C1BAO54321-1-2-3-4-6-4-2246C2BAO54321-1-2-3-4-6-4-2246C3BAO由相似三角形的相关知识容易得到：1C(0,0)、2C(3)，0、33C(0)3，-。小结：一圆两线•已知线段AB，若△ABC为直角三角形，那么C点的位置如何确定？•结论是：点C在一圆两线上。ABC2C3C1练习3：•平面直角坐标系中，已知A(-3,0)，B（2,5），点C是坐标轴上的点，并且△ABC为直角三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。12108642-2-4-6-8-15-10-551015BA练习4：•等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。点P是BC的垂直平分线上的一个动点。请找出所有的满足△PAB、△PCD都是直角三角形的点P，并求出点P到BC的距离。ABDC例4：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B（5,0），点C是直线2yx上的点，并且△ABC为直角三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214BA分析：还是要分三种情况进行讨论87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C1BA87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C2BA87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C4C3BA此题中，符合要求的点容易找到，但求法稍复杂，需要设未知数，利用勾股定理或者相似来求解设(,-2)Ctt，由勾股定理可得：22-1-2)+tt（）（2225--2)4tt（）（解得57=2t所以35+71+7(,)22C，4571-7(,)22C。87654321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468101214C4C3BA综合2：（10崇文二模24题）（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．