应用多元统计分析-第二章正态分布的参数估计答案

1练习二多元正态分布的参数估计2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc其中1axb，2cxd。求（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；（3）判断1X和2X是否相互独立。2（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba所以由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；12cov(,)xx12121212222[()()()()2()()]22()()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdxdxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxxx（3）解：判断1X和2X是否相互独立。31X和2X由于121212(,)()()xxfxxfxfx，所以不独立。2.4设12(,,)pXXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为12(,,)pXXXX的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppfxxΣxμΣxμ又由于21222pΣ22212pΣ212122111pΣ则1(,...,)pfxx211/22222121221111exp()()221pppΣxμΣxμ222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxx2121()1exp()...()22piipiiixfxfx4则其分量是相互独立。2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为1ˆniinμXX1ˆ()()niiinΣXXXX35650.0012.33ˆ17325.00152.50μX201588000.0038900.0083722500.00-736800.0038900.0013.06716710.00-35.80ˆ83722500.0016710.0036573750.00-199875.00-736800.00-35.800-199875.0016695.10Σ2.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，~(,)pNXμΣ，有样本12,,...,nXXX。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又111()nnniiiiiEEnEnnXXXμμ2211111()nnniiiiiDDnDnnnΣXXXΣ所以~(,)pNXμΣ。2.8方法1：11ˆ()()1niiinΣXXXX111niiinnXXXX11ˆ()()1niiiEEnnΣXXXX5111niiiEnEnXXXX111(1)11ninnnnnΣΣΣΣ。方法2：1()niiiSX-X)(X-X1((niiiX-μXμ)X-μXμ)11()()2()()()nniiiiinX-μX-μX-μX-μXμ)(XμXμ1()()2()()niiinnX-μX-μXμ)(XμXμ)(Xμ1()()()niiinX-μX-μXμ)(Xμ11()()()()11niiiEEnnnSX-μX-μXμ)(Xμ11()()()1niiiEnEnX-μX-μXμ)(XμΣ。故1nS为Σ的无偏估计。9.设(1)(2)()nX,X,...,X是从多元正态分布~(,)pNXμΣ抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。证明：设12******11ijnnnnnΓ为一正交矩阵。令12n12nΖ=(ΖΖΖ)=XXXΓ，(1,2,3,4,),iniXΓ由于独立同正态分布且为正交矩阵6所以12()n独立同正态分布。且有11nniinΖΧ，11()()nniiEEnnΖΧμ，1()VarnnZΣ。1()()(1,2,3,,1)naajjjEEranΖΧ11najjnnrμ10najnjinrrμ0(,)ijijCovijΖΖΣ又因为1()()njjiSXXXX1njjniXXXX1njjnniXXΖΖnnΖΓΓΖ-ΖΖ=1122...nnnnZZZZZZ-ΖΖ故11njjjS，由于121,,,nZZZ独立同正态分布(0,)pNΣ，所以11~(1,)njjpjWnS10.设()iiXnp是来自(,)piiNμΣ的简单随机样本，1,2,3,,ik，（1）已知2...k1μμμμ且2...k1ΣΣΣΣ，求μ和Σ的估计。（2）已知2...k1ΣΣΣΣ求2,,...,,k1μμμ和Σ的估计。解：（1）11121ˆ...ankaiaiknnnμxx，71112ˆ...ankaaiiaiknnnxxxxΣ(2)1ln(,,,)kLμμΣ2111ln()exp[]2anknpaaiaiaai2-1Σ(x-μ)Σ(x-μ)ln()Lμ,ΣΣ1111ln()ln222ankaaiaiaainpn2-1Σ(x-μ)Σ(x-μ)21111ln(,)1()()022ankaaiaiaaiLnμΣΣXμXμΣΣ11ln(,)()0(1,2,...,)jnjijjijLjkμΣΣXμμ解之，得11ˆjnjjijijnμxx，1112ˆ...jnkjjjiknnnijijxxxxΣ