模态与振动理论-第六讲

2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-1¾H(s)、H(jω)和h(t)——描述系统特性的函数第5章振动系统模态参数识别z系统函数系数ai，bj(i=0,1,…2n；j=0,1,…2m)是与系统物理参数[mij]n×n、[cij]n×n、[kij]n×n有关的参数物理参数识别（困难）z系统函数与系统物理参数的关系（多自由度系统）()(){}22[][][][()][][][]det[][][]adjMsCsKHsMCKMsCsK++=++　　　　　、、是系统物理参数¾hlp(t)=L1−⎡⎤⎣⎦lpH(s)ijijij([],[],[],)∼hmckt2212211022122110()(1)mmmmlpnnnnbsbsbsbN(s)HsmnasasasaD(s)−−−−+++===−+++2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-2¾¾21rrrrrrrlprsjDωωωξωωξ⎧=⎪⎪=−+−⎨⎪→⎪⎩其中复数第5章振动系统模态参数识别z系统函数与系统模态参数的关系（多自由度系统）()()1()nlrprlrprlprrrrrHsasasψψψψλλ∗∗∗∗=⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟−−⎝⎠∑1()nlprlprlprrrAAHjjsjsωωω∗∗=⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠∑频域⎯⎯⎯⎯→实模态21(1)2nlprrrrrDjωξω==−+∑21(1)2nlrprrrrrrkjϕϕωξω=−+∑1nlprlprrrrAAssss∗∗=⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠∑2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-3第5章振动系统模态参数识别z系统函数与系统模态参数的关系（多自由度系统）时域¾hlp(t)=L()11∗−∗=⎡⎤=+⎣⎦∑rrnststlprlprrAeAelpH(s)()001()()rrnststllrrlrrrxtqeqeψψ∗∗∗==+∑自由响应模态参数识别(相对容易)§5.1模态参数频域识别方法¾发展较早、较成熟、物理概念清楚直观、精度高、抗噪能力强、应用广泛¾需要输入f(t)和输出x(t)的实测数据，且需要F(ω)和X(ω)➨H(ω)➨识别模态参数2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-4第5章振动系统模态参数识别n自由度比例粘性阻尼系统（实模态）§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹基本公式211()(1)2(5.1)nlprerrrrHKωωξω==⎡⎤−+⎣⎦∑定义密集模态——ωr（r=1,2,…,n）之间较靠近（相邻模态影响较大）稀疏模态——ωr（r=1,2,…,n）之间较远（相邻模态影响较小）2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-5第5章振动系统模态参数识别对于稀疏模态，且阻尼较小，当ω➙ωr时，（ω在ωr附近）§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹基本公式实部、虚部分别为21()(5.2)(1)2lpcerrrrHHKjωωξω≈+⎡⎤−+⎣⎦主导模态剩余导纳：实常数22221()(5.3)(1)(2)RRrlpcerrrrHHKωωωξω−≈+⎡⎤−+⎣⎦2222()(5.4)(1)(2)IIrrlpcerrrrHHKξωωωξω−≈+⎡⎤−+⎣⎦2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-6第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹模态参数识别平移量¾模态频率?⎧⎨⎩用虚频图识别较精确？用实频图能否识别？¾模态阻尼比?abRcIIIcωωMaxHH=HHωωωω⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭abab、用实频图(不影响实频曲线正负峰值对应的频率、)？用虚频图对应的、，受影响？(5.5)2babarrrrωωωωξηωω−−==或　¾模态振型?需测量Hlp(ω)(l=1,2,…,n)(频响函数矩阵的一列)或Hlp(ω)(p=1,2,…,n)(频响函数矩阵的一行)2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-7第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹模态参数识别¾模态振型由(5.4)式，当ω=ωr时（忽略）ICH(5.6)1()22lrprIlprerrrrHKkϕϕωξξ−−==对l=1,2,…,n,有1122()()2()(5.7)IprrIrprprrrInrnprHHkHωϕϕωϕξϕω⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=−⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭当单点激振，第r阶模态与l点无关(常数)2prrrkϕξ{}()IrHω为模态振型2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-8第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹模态参数识别¾模态振型(5.7)式可写为对φpr归一化(φpr=1)111222()()()2()11()rrIprprprIrrprprprprprIpprIrrpprInprnrnrprprHHHkHHϕϕϕϕωϕϕωϕϕϕϕωξωωϕϕϕϕ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=−=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1122()()11()()()(5.8)IprrIprrIIpprpprInrnprHHHHHωϕωϕωωϕω⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-9第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„分量法（分量分析法）‹模态参数识别¾模态刚度和模态质量第r阶模态刚度由(5.6)式模态刚度与振型归一化有关！适用于稀疏模态（）、小阻尼特点2()lrprrIrlprkHϕϕξω−=第r阶模态质量2(5.10)rrrkmω=r+1rrrω-ω52ξω)a⎧⎪⎨⎪⎩简单、直观（图解法）p⎯⎯⎯⎯→点测量22()prIrpprHϕξω−p⎯⎯⎯⎯→点归一1(5.9)2()IrpprHξω−b)主导模态法：模态越稀，阻尼愈小，精度愈高；模态较密，误差较大c)只用峰值一点的频响函数的信息，影响识别精度2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-10第5章振动系统模态参数识别利用导纳函数的矢端轨迹进行模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）‹概述SDOF系统（）021kHjω=(ω=ωω)(1-ω)+j2ξωMDOF系统(稀疏模态、小阻尼)（在ω≈ωr附近）-（）lprlp2rrrDHjω=(1ω)+j2ξω导纳矢端轨迹方程，对SDOF系统()()⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠222RI011ωHω+Hω+=ω=ω4kξω4kξω⎯⎯⎯→real-rkϕϕlrprrr2rrr(ω=ωω)(1ω)+j2ξω2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-11第5章振动系统模态参数识别对MDOF系统§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）‹概述¾在ω≈ω0（共振区），上述方程可近似为圆方程——可拟合出一个圆（导纳圆或模态圆）¾在ω≈ω0（共振区），取极值，即相同的频率间隔所对应的弧长在共振点（ω≈ω0）处最大()()⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠222RIerrrerrrrr11Hω+Hω+=4Kξω4Kξωωω=ω()ddSddϕωω或2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-12第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）‹模态圆拟合在ω≈ωr附近为圆，但由于测试误差，频响函数矢端不可能正好落在圆弧上。为了提高参数识别精度，一般要用实测数据拟合出一个理论圆则理想圆方程()()IHxHyωω==R令，，()()22200(5.11)xxyyR−+−=圆周上点坐标半径圆心坐标设实测点数据：（xk,yk）（它不一定落在圆上），代入(5.11)式()()22200kkxxyyR−+−≠其偏差()()22200(5.12)kkkexxyyR=−+−−2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-13第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）‹模态圆拟合在ω≈ωr附近取m个测点（xk,yk）k=1,2,…,m)使误差平方和取最小，即22kkkkkexyaxbyc=++++22200002,2,axbycxyR=−=−=+−其中　222211()mmkkkkkkkEexyaxbyc====++++∑∑0,0,0EEEabc∂∂∂===∂∂∂由23222322()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkxxyxxxyaxyyybxyycxymxy⎛⎞⎧⎫+⎧⎫⎜⎟⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎜⎟=+⎨⎬⎨⎬⎜⎟⎪⎪⎪⎪⎜⎟+⎩⎭⎜⎟⎪⎪⎩⎭⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑可求得a、b、c,从而得()()2200,,/2/222abxyRabc=−=−=+−2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-14第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法‹模态参数识别¾模态频率：由求模态频率¾模态阻尼„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）⎯⎯→dSMaxdω(1)(1)(1)iirrqqΔωΔωΔωΔωΔωΔω+++111iirrqqSSSSSS+++在ω≈ωr附近，即1rrSSωΔω+−→⇒最大确定rSDOF：可由半功率点ωa、ωb求得2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-15第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法‹模态参数识别¾模态阻尼„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）MDOF：在ωr附近任取两点1，2，ω1,ω2（取ω1ωrω2）()2111122rrrtgαωξωωω⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦1222tgtgαα+()2222122rrrtgαωξωωω⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦()()2212121212rrrrrrωωξωωξωωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦2112121(11)(5.13)rrrrrωωωωωωωωωξω−≈≈考虑、、差别不大，，2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-16第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法‹模态参数识别¾模态阻尼„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）2112122rrtgtgωωξααω−=+i2100145452barrrtgtgωωωωξωω−−==+i半功率点法¾模态振型ω≈ωr时()2()2lrprIlprlprrrHRkϕϕωξ=−=——第r阶模态，p点激励，l点响应的导纳圆半径（可正可负）()lprR01290αα==当时2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-17第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法‹模态参数识别„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）参考(5.8)式¾模态振型MDOF系统主导模态法中的单自由度频响函数受相邻模态和测量误差的影响1122()()11()()()prrprrpprpprnrnprRRRRRϕϕϕ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1ϕ=pr¾模态刚度与模态质量参考(5.9)式和(5.10)式，从略‹导纳圆识别法注意的几个问题2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-18第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）向量的模为，复角较原向量增加α，‹导纳圆识别法注意的几个问题()lpHω()ω+ilpcPHH()lpPHωi　()lpPHωi　＝IRPαarctanP()=+为复系数且RIPPPjP2010/4/15范子杰:模态分析理论与试验-19第5章振动系统模态参数识别§5.1模态参数频域识别方法„导纳圆识别法（矢量法、矢端图法）对MDOF系统，每个测点的Hlp(ω)，其轨迹图有多个共振区，每个共振区可拟合一个圆，然后分别进行模态参数识别‹导纳圆识别法注意的几个问题‹导纳圆识别法特点¾利用附近多点信息，即使没有峰值信息，也