离散数学—图论(128版).

第8章图论第8章图论8.1图的基本概念8.2路径和回路8.３图的矩阵表示8.４二部图8.5平面图8.6树8.7有向树8.8运输网络AABBCCDDAABBCCDD问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，再回到起点。欧拉在1736年解决了这个问题。判定法则：如果通奇数座桥的地方不止两个，那么满足要求的路线便不存在了。如果只有两个地方通奇数座桥，则可从其中任何一地出发找到所要求的路线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任何一地出发，所求的路线都能实现第8章图论定义8.1―1一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d),ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)则图G可用图8.1―1表示。8.1图的基本概念8.1.1图第8章图论第8章图论定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同。每一条边都是有向边的图称为有向图,第三章中的关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。第8章图论约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向边又表示无向边时用［a,b］。有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回路。第8章图论在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重数为0。定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简单图,关系图都是线图。第8章图论图8.1―3第8章图论定义8.1―3赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合,E是边的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。右图给出一个赋权图。V={v1,v2,v3}E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)}f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11g(e1)=4.6,g(e2)=7.5第8章图论8.1.2结点的次数定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v);以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度),记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点的次数为零。第8章图论定理8.1―1设G是一个(n,m)图,它的结点集合为V={v1,v2,…,vn},则11deg()deg()2nniiiim1deg()2niim证因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数之和为m条边所提供,所以上式成立。在有向图中,上式也可写成:第8章图论定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。证设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。由上一定理得iEiO121112deg()deg()deg()iinnniEOiiim因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。第8章图论图8.1―5第8章图论定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各结点的次数均为k时称为k―正则图。下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。第8章图论8.1.3图的同构定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图,若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V,［a,b∈E当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］有相同的重数,则称G和G′是同构的。上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系(在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实际上代表同样的组合结构。第8章图论例2(a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉,〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中仅有的边。第8章图论两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度数相同的结点数相等。但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数为1的点w邻接。第8章图论8.1.4图的运算图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉(1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉,其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉,其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。(4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。第8章图论除以上4种运算外,还有以下两种操作:(1)删去图G的一条边e;(2)删去图G的一个结点v。它的实际意义是删去结点v和与v关联的所有边。第8章图论8.1.5子图与补图定义8.1―8设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图。(1)如果V′V和E′E,则称G′是G的子图。如果V′V和E′E,则称G′G的真子图。(注意:“G′是图”已隐含着“E′中的边仅关联V′中的结点”的意义。)(2)如果V′=V和E′E,则称G′为G的生成子图。(3)若子图G′中没有孤立结点,G′由E′唯一确定,则称G′为由边集E′导出的子图。(4)若在子图G′中,对V′中的任意二结点u、v,当［u,v］∈E时有［u,v］∈E′,则G′由V′唯一确定,此时称G′为由结点集V′导出的子图。第8章图论第8章图论定义8.1―9在n个结点的有向图G=〈V,E〉中,如果E=V×V,则称G为有向完全图;在n个结点的无向图G=〈V,E〉中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边,则称G为无向完全图,记为Kn。图8.1―11是4个结点的有向完全图和无向完全图的图示。定义8.1―10设线图G=〈V,E〉有n个顶点,线图H=〈V,E′〉也有同样的顶点,而E′是由n个顶点的完全图的边删去E所得,则图H称为图G的补图,记为,显然,。HGGG第8章图论8.2路径和回路8.2.1路径和回路定义8.2―1在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一条路径是图的一个点边交替序列（v0e1v1e2v2…envn）,其中vi-1和vi分别是边ei的始点和终点,i=1,2,…,n。在序列中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径,如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。基本路径也一定是简单路径。第8章图论如果路径的始点v0和终点vn相重合,即v0=vn,则此路径称为回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。(a)P1=(v1e1v2e7v5)是一条基本路径。(b)P2=(v2e2v3e3v3e4v1e1v2)是一简单回路非基本回路。第8章图论在无向图上,以上各术语的定义完全类似,故不重复。路径和回路可仅用边的序列表示,在非多重图时也可用顶点序列表示。第8章图论定义8.2―2路径P中所含边的条数称为路径P的长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意习惯上不定义长度为0的回路。)定理8.2―1在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉中,如果从v1到v2有一条路径,则从v1到v2有一条长度不大于n-1的基本路径。简证假定从v1到v2存在一条路径,(v1,…,vi,…,v2)是所经的结点,如果其中有相同的结点vk,例(v1,…,vi,…,vk,…,vk,…,v2),则删去从vk到vk的这些边,它仍是从v1到v2的路径,如此反复地进行直至(v1,…,vi,…,v2)中没有重复结点为止。此时,所得的就是基本路径。基本路径的长度比所经结点数少1,图中共n个结点,故基本路径长度不超过n-1。第8章图论定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n的基本回路。定义8.2―3在图G=〈V,E〉中,从结点vi到vj最短路径的长度叫从vi到vj的距离,记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径,则d(vi,vj)=∞。注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足以下性质:(1)d(vi,vj)≥0;(2)d(vi,vi)=0;(3)d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。第8章图论8.2.2连通图定义8.2―4设G=〈V,E〉是图,且vi、vj∈V。如果从vi到vj存在一条路径,则称vj从vi可达。vi自身认为从vi可达。定义8.2―5在无向图G中,如果任两结点可达,则称图G是连通的;如果G的子图G′是连通的,没有包含G′的更大的子图G″是连通的,则称G′是G的连通分图(简称分图)。第8章图论图8.2―2一个无向图或者是一个连通图,如图8.2―2(a)所示,或者是由若干个连通分图组成,如图8.2―2(b)所示。第8章图论定理8.2―3设G是任一(n,m)无向简单图,ω是其分图个数,则1()(1)2nmnn定义8.2―6在有向图中,如果在任两结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点是可达的,则称图G是单向连通的;如果在任两结点偶对中,两结点都互相可达,则称图G是强连通的;如果它的底图是连通的,则称图G是弱连通的。第8章图论强连通的也一定是单向连通和弱连通的,单向连通的一定是弱连通的,但其逆均不真。在下图中,(a)是强连通的,(b)是单向连通的,(c)是弱连通的。第8章图论定义8.2―7在有向图G=〈V,E〉中,G′是G的子图,若G′是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含G′的更大子图G″是强连通的(单向连通的,弱连通的)