误差理论与数据处理-第七章间接测量不确定度评定

第七章间接测量不确定度的评定教学目的和要求：通过本章内容的教学，使学生掌握等精度直接测量和不等精度直接测量不确定度的评定方法与步骤。要求学生清楚等精度测量、不等精度测量、权的概念；掌握等精度直接测量不确定度的评定方法与步骤；掌握不等精度直接测量不确定度的评定方法与步骤。主要内容：间接测量不确定度评定研究的内容1、间接测量不确定度的（合成）评定，2、间接测量不确定度的分配、合成以及最佳测量方案的选择等问题加以讨论。3、间接测量不确定度的最佳测量方案的选择第一节间接测量不确定度的评定间接测量的概念间接测量是通过直接测量与被测量之间有一定的函数关系的其他量，再按照一定的函数关系计算出被测量的测量方法。因此，间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数。而间接测量的不确定度则是各个直接测量不确定度的合成不确定度。一、间接测量标准不确定度评定的基本公式1、间接测量的数学模型12(,,...,)nyfxxx与被测量有函数关系的各个直接测量值及其其他非测量值，又称输入量间接测量值，又称输出量12,,,nxxx2、函数系统误差的计算公式1212...nnfffyxxxxxx为各个输入量在该测量点处的误差传播系数(1,2,,)ifxin12(,,,)nxxxix和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用yifxix和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用yifx间接测量标准不确定度评定的基本公式（1）线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax12...nyxxx1ia（2）三角函数形式12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx12cos,,...,nfxxx11sinniiifxx系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和（3）形如下式的函数npnppnxxCxxxxfy212121,,,nnxxyyxxyyxxyyyy1112211nnnnnnxxxyxxxxyxxxxyxxxyxxyxxyyylnlnlnlnlnln222211112211iixiyxxryyr,xnnnxxyrxyxrxyxrxyxrlnlnln222111nnxpxpxpCylnlnlnlnln2211iiixpxy1lnxnnxxyrprprpr2211例题用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh500mml201300mm4lDhh车间工人测量弓高、弦长的系统误差hl5050.10.1mmh5004991mml直径的系统误差7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh故修正后的测量结果013007.41292.6mmDDD计算结果误差传播系数为3、函数随机误差计算12(,,...,)nyfxxx变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得函数的一般形式1122(,,,)nnyyfxxxxxx121212(,,...,)nnnfffyyfxxxxxxxxx得到1212nnfffyxxxxxx2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx(1)函数标准差计算或第i个直接测得量的标准差xiix第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数ij第i个测量值和第j个测量值之间的协方差ijijxixjD第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数ifxixy12(,,,)nxxx22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD(2)相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项iifax令2222221122yxxnxnaaa(3)三角形式的函数随机误差公式函数形式为12sin(,,...,)nfxxx函数随机误差公式为22222212121cosxxxnnfffxxx例题用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.00516910mmDlhfflh0.13mmD有故修正后的测量结果01292.6mmDDD0.13mmD(4)相关系数估计a.相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa1ij函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数当相关系数b.相关系数的确定－直接判断法可判断的情形0ij断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量ixjx与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关ixjx可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关ixjx1ij1ijc.相关系数的统计计算公式22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数(,)ijxx,ikjkxx、分别为、的算术平均值ixjxikxjkx二、评定方法与步骤1、间接测量最佳估计值的计算2、合成标准不确定度的评定（1）计算各标准不确定度分量uinxxxfy,,,21nixfcscuiixxiiiii,,2,1（2）确定各标准不确定度分量ui的自由度；（3）若存在相关关系，则应设法确定相关系数ρij的值；（4）按式（7—15）计算合成标准不确定度uc，即njijiijncuuuuuu12222123、扩展不确定度评定（1）扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以包含因子k得到，记为U。即U＝kuc用扩展不确定度作为测量不确定度，则测量结果表示为，k（2）当概率分布是正态分布时，包含因子kp由t分布的临界值tp（）确定。即kp＝tp（）UyY则扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以包含因子kp＝tp（）得到，记为Up。即Up＝kpuc那末，用扩展不确定度作为测量不确定度，测量结果表示为eff,,pUyYp上式中，是合成标准不确定度uc的自由度，我们称之为有效自由度。记为。effniiicuu1444、给出测量不确定度报告对间接测量不确定度进行评定后，应该给出测量不确定度的最后报告。测量不确定度的最后报告的形式为，即，k或UyYeff,,pUyYp例题体积测量的不确定度计算1、测量方法直接测量圆柱体的直径D和高度h，由函数关系式计算出圆柱体的体积由分度值为0.01mm的测微仪重复6次测量直径D和高度h，测得数据如下hDV42计算直径D和高度h的测量平均值得：mm，mm，则体积V的测量结果估计值为2、不确定度评定下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量。（1）直径D的测量重复性引起的不确定度分量u132mm8.8064hDV110.10h080.10D31mm77.0DDDuDVucu（2）高度h的测量重复性引起的不确定度分量u2（3）测微仪示值误差引起的不确定度分量u332mm21.0hhhuhVucu仪仪uhVuuDVuhD33,mm04.1422222223233仪仪uDhDuhVDVuuuhD3、不确定度合成4、扩展不确定度33222232221mm3.1mm04.121.077.0uuuuc0.4004.1521.0577.03.144443144iiiceffuu40effU0.95＝k0.95uc＝2.02×1.3mm3＝≈2.6mm35、不确定度报告（1）用合成标准不确定度评定体积测量的不确定度，则测量结果为（2）用扩展不确定度评定体积测量的不确定度，则测量结果为33mm3.1,mm8.806cuV40,mm6.28.8063V第二节合成标准不确定度的分配不确定度的合成正问题合成----对已有的测控系统进行的。直接测量不确定度评定间接测量不确定度评定不确定度的分配逆问题分配----对待设计的测控系统进行的。复杂对象及原有系统优化不确定度分配总体要求对于给定的系统的测量不确定度uc，要求合理的确定各不确定度分量ui（i=1,2,…n）的值，且分配后的各分量值应满足，2232221...ncuuuuu分配实质合成标准不确定度:),.....,,,(321mxxxxfyuc(合成不确定度)，从数学上看，已知量未知量为m个，Niicyuu12N1ii2i2i2)()(x)u(xc),.....,(21mxxxfy不确定度uiuc(y)分配实质：不确定度传播律的逆问题，即如何根据给定的y的不确定度，分配各直接被测量的不确定分量。分析：测量模型：),...,2,1(mjuj无法求解！如何分配?横向——同一层次——等作用原则纵向——不同层次——微小误差准则横向——等作用原则横向——按等作用原则分配合成标准不确定度所谓等作用原则，就是认为各个不确定度分量对合成标准不确定度的贡献是相等的。若间接测量的函数关系为y＝f（x1，x2，…，xn）设各不确定度分量互不相关，即相关系数ρij