高中数学导数教案

（一）主要知识及主要方法：1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx.2.导数的几何意义：导数0000()()()limxfxxfxfxx是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化．．的快慢程度.它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为000()()()yfxfxxx3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数()fx，从而构成了一个新的函数()fx,称这个函数()fx为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即()fx＝y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数()fx在0x处的函数值，即0xxy＝0()fx.所以函数)(xfy在0x处的导数也记作0()fx奎屯王新敞新疆4.可导:如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导奎屯王新敞新疆5.可导与连续的关系：如果函数)(xfy在点0x处可导，那么函数)(xfy在点0x处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()yfx的导数的一般步骤：1求函数的改变量)()(xfxxfy2求平均变化率xxfxxfxy)()(；3取极限，得导数y()fxxyx0lim7.几种常见函数的导数：0'C(C为常数)；1)'(nnnxx(Qn)；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos；1(ln)xx；1(log)logaaxex，()xxee；()lnxxaaa8.求导法则：法则1[()()]()()uxvxuxvx．法则2[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux法则3：'2''(0)uuvuvvvv9.复合函数的导数：设函数()ux在点x处有导数()xux，函数()yfu在点x的对应点u处有导数uyfu，则复合函数(())yfx在点x处也有导数，且xuxuyy'''或(())()()xfxfux10.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数奎屯王新敞新疆11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率，即0()kfx，要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点，前者未必是切点.问题1．1已知000(2)()lim13xfxxfxx△△△，求0()fx2设函数()fx在点0x处可导，求000()()lim2hfxhfxhh5对于R上可导的任意函数()fx，若满足1()xfx≥0，则必有.A(0)(2)ff21f.B(0)(2)ff≤21f.C(0)(2)ff≥21f.D(0)(2)ff21f6设函数()fx，()gx在,ab上均可导，且()()fxgx，则当axb时，有.A()()fxgx.B()()fxgx.C()()()()fxgagxfa.D()()()()fxgbgxfb问题2．()fx的导函数()yfx的图象如图所示，则()yfx的图象最有可能的是问题3．求下列函数的导数：121sinyx；411xxeye；6lnxyex7sin1cosxyx；821sincosyxxxx932xxxyee1033421yxxx问题4．1求过点1,1P且与曲线3yx相切的直线方程.2（06全国Ⅱ文）过点1,0作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为.A220xy.B330xy.C10xy.D10xy3（08届高三攸县一中）已知曲线mxy331的一条切线方程是44yx，则m的值为.A43.B283.C43或283.D23或133（三）课后作业：1.若0()2fx,求0limkkxfkxf2)()(002.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)fxxxf，则(2)f（四）走向高考：7.过原点作曲线xye的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为8.设函数()cos3fxx（0），若()()fxfx是奇函数，则9.设0()sinfxx，10()()fxfx，21()()fxfx，…，1()()nnfxfx，nN，则2005()fx.Asinx.Bsinx.Ccosx.Dcosx10.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为.A430xy；.B450xy；.C430xy；.D430xy11.曲线12xye在点24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.A29e2.B24e.C22e.D2e12.已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为.A1.B2.C3.D413.已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf,处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff14.曲线32242yxxx在点(13),处的切线方程是15.对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列1nan的前n项和的公式是16.已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值.1讨论(1)f和(1)f函数的()fx的极大值还是极小值；2过点(0,16)A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程.导数的应用（一）主要知识及主要方法：1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:1求()fx;2确定()fx在,ab内符号;3若()0fx在,ab上恒成立，则()fx在,ab上是增函数；若()0fx在,ab上恒成立，则()fx在,ab上是减函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆①()0fx()fx为增函数（()0fx()fx为减函数）.②()fx在区间,ab上是增函数()fx≥0在,ab上恒成立；()fx在区间,ab上为减函数()fx≤0在,ab上恒成立.2.极大值：一般地，设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx，就说0()fx是函数()fx的一个极大值，记作y极大值0()fx，0x是极大值点.3.极小值：一般地，设函数()fx在0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx就说0()fx是函数()fx的一个极小值，记作y极小值0()fx，0x是极小值点.4.极大值与极小值统称为极值奎屯王新敞新疆在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值奎屯王新敞新疆请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念奎屯王新敞新疆由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点奎屯王新敞新疆而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.5.当()fx在点0x连续时，判别0()fx是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值.6.求可导函数()fx的极值的步骤:1确定函数的定义区间，求导数)(xf2求方程()0fx的根奎屯王新敞新疆3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(xf在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()fx在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()fx在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.7.函数的最大值和最小值:一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．说明：1在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．3函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.8.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(xf在ba,上连续，在(,)ab内可导，则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：1求)(xf在(,)ab内的极值；2将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆p9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．1函数)(xfy在定义域)3,23(内可导，其图象如图所示，记)(xfy的导函数为)(xfy，则不等式0)(xf的解集为.A3,2]1,31[.B]38,34[]21,1[.C2,1]21,23[.D3,38]3