高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)

高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2abcosCB.asinA＝bsinBC．asinC＝csinAD．cosB＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76B．219C．27D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π37．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是()A．BCB．B＝CC．BCD．关系不确定8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形9．在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定11．在△ABC中，若ABC，b＝10，且a＋c＝2b，C＝2A，则a与c的值分别为()A．8,10B．10,10C．8,12D．12,812．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，则△ABC的周长是()A．3B．6C．36D．96二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.16．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝12.(1)求A；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．18．(12分)在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2abcosCB.asinA＝bsinBC．asinC＝csinAD．cosB＝a2＋c2－b22abc答案D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°答案B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sinC，得sinC＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76B．219C．27D．27答案B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝219.4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案D解析由正弦定理，得asinA＝bsinB.所以sinB＝basinA＝434sin30°＝32.又ab，则AB，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案B解析a2＋ab＋b2a，a2＋ab＋b2b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－a2＋b2＋ab2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3答案B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是()A．BCB．B＝CC．BCD．关系不确定答案B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案B9．在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案C10．△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定答案D11．在△ABC中，若ABC，b＝10，且a＋c＝2b，C＝2A，则a与c的值分别为()A．8,10B．10,10C．8,12D．12,8答案C解析∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA.由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·100＋c2－a22×10c，将a＝20－c代入上式整理，得c2－22c＋120＝0，解得∴c＝10(舍去)或c＝12.∴a＝8.12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，则△ABC的周长是()A．3B．6C．36D．96答案C解析由已知得O是△ABC的重心，由OA→·OB→＝OB→·OC→，得OB→·(OA→－OC→)＝0.∴OB→·CA→＝0.∴OB⊥CA.同理，OA⊥BC，OC⊥AB.∴△ABC为等边三角形．故∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝2π3，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝2.在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是36.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案42解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sinAsinBb＝sin30°sin45°×8＝42.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.答案3解析在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CBsinC，则12＝12×5×8sinC.所以sinC＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案2034033解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20m.则在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以CD＝sin∠CBDsin∠BDCBC＝4033.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝12.(1)求A；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．思路分析(1)转化为求cosA；(2)求出bc的值即可．解析(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝12，∴cos(B＋C)＝12.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝12.∴cosA＝－12.又∵0Aπ，∴A＝2π3.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA.则(23)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos2π3.∴12＝16－2bc－2bc·(－12)．∴bc＝4.∴S△ABC＝12bc·sinA＝12×4×32＝3.18．(12分)在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解析(1)由C－A＝π2和A＋B＋C＝π，得2A＝π2－B,0Aπ4.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝13，sinA＝33.(2)由(1)得cosA＝63.又由正弦定理，得BCsinA＝ACsinB，BC＝sinAsinBAC＝32.所以S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12AC·BC·cosA＝32.19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．解析(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋1－2×2×1×34＝2.∴AB＝2.(2)由cosC＝34且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，解得sinA＝BCsinCAB＝148.所以cosA＝528.由倍角公式，得sin2A＝2sinAcosA＝5716，且cos2A＝1－2sin2A＝916.故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．解析(1)方法一∵A(3,4)、B(0,0)，∴|AB|＝5，sinB＝45.当c＝5时，|BC|