高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

1专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。解得。∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，2要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物线2:2Cypx（0,pp为常数）交于不同的两点,MN，当12k时，弦MN的长为415.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1,1B，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）24yx;（2）直线NQ过定点1,4【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设2221122,2,,2,,2MttNttQtt，则12MNktt，则11:220MNxttytt；同理：22:220MQxttytt1212:220NQxttytt.由1,0在直线MN上11tt（1）；由1,1在直线MQ上22220tttt将（1）代入121221tttt（2）将（2）代入NQ方程12122420xttytt，即可得出直线NQ过定点．3（2）设2221122,2,,2,,2MttNttQtt，则12211222=MNttktttt，则212:2MNytxttt即11220xttytt；同理：22:220MQxttytt；1212:220NQxttytt.由1,0在直线MN上11tt，即11tt（1）；由1,1在直线MQ上22220tttt将（1）代入121221tttt（2）将（2）代入NQ方程12122420xttytt，易得直线NQ过定点1,43．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线2:0Cymxm过点1,2，P是C上一点，斜率为1的直线l交C于不同两点,AB（l不过P点），且PAB的重心的纵坐标为23.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PAPB的斜率分别为12,kk，求12kk的值.【答案】（1）方程为24yx;其焦点坐标为1,0（2）120kk【解析】试题分析;（1）将1,2代入2ymx，得4m，可得抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）设直线l的方程为yxb，将它代入24yx得22220xbxb（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB的重心的纵坐标23，化简可12kk的值；4因为PAB的重心的纵坐标为23，所以122pyyy，所以2py，所以1px，所以1221121212122121221111yxyxyykkxxxx，又12212121yxyx12212121xbxxbx12122122xxbxxb22212220bbbb.所以120kk.4．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴端点到右焦点10F，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于AB，两点，交直线4lx：于点P，若1PAAF，2PBBF，求证：12为定值．【答案】(1)22143xy;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB过点1,0F，且斜率存在，设方程为1ykx,将4x代人得P点坐标为4,3k，由221{143ykxxy，消元得22223484120kxkxk，设11,Axy，22,Bxy，则0且21222122834{41234kxxkkxxk，方法一：因为1PAAF，所以11141PAxAFx.同理22241PBxBFx，且1141xx与2241xx异号，所以12121212443321111xxxxxx51212123221xxxxxx2222238682412834kkkkk0.所以，12为定值0.当121xx时，同理可得120.所以，12为定值0.6同理2223PBmyBFmy，且113mymy与223mymy异号，所以12121212123332yymymymymymyy36209mm.又当直线AB与x轴重合时，120，所以，12为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点1,0F，在设方程时，往往设为1xmy0m，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C：24yx，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于,AB两点.（1）设l的斜率为1，求AB；（2）求证：OAOB是一个定值.【答案】(1)8AB（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；7（2）证明：设直线l的方程为1xky，由21{4xkyyx得2440yky∴124yyk，124yy1122,,,OAxyOBxy，∵1212121211OAOBxxyykxkyyy，212121222144143kyykyyyykk，∴OAOB是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1xky也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C:22221(0,0)xyabab的离心率为63,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1)2213xy,(2)O到直线AB的距离为定值32.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；8有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)=0代入,得4m2=3k2+3原点到直线AB的距离2321mdk，当AB的斜率不存在时,11xy,可得,132xd依然成立.所以点O到直线的距离为定值32.点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线222210xybaab渐近线方程为3yx，O为坐标原点，点3,3M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,PQ为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OPOQ的值．【答案】（Ⅰ）22126xy；（Ⅱ）221113OPOQ.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OPOQ，可设出直线,OPOQ的方程，代入双曲线方程求得点,PQ的坐标可求得221113OPOQ。9（Ⅱ）由题意知OPOQ。设OP直线方程为ykx，由221{26xyykx，解得2222263{63xkkyk，∴222222226166||333kkOPxykkk。由OQ直线方程为1yxk.以1k代替上式中的k，可得2222216161||3113kkOQkk。∴2222222221113311+=3616161kkkkkkOPOQ。8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:22221(0)xyabab经过点P(2,1)，且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OMNO，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．【答案】（1）22182xy；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。10x1+x2=2841ktk，x1x2=224841tk，又直线PA的方程为y﹣1=1112yx（x﹣2），即y﹣1=1112kxtx（x﹣2），因此M点坐标为（0，111222kxtx），同理可知：N（0，221222kxtx），当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆2222:10xyCabab的左，右焦点分别为12,FF.过原点O的直线与椭圆交于,MN两点，点P是椭圆C上的点，若14PMPNkk，110FNFM，且1FMN的周长为423.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆在点P处的切线记为直线，点12,,FFO在上的射影分别为,,ABD，过P作的垂线交x轴于点Q，试问12FAFBODPQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214xy;(2)1.【解析】试题分析;（1）设,Mmn，则,Nmn，∴22221mnab，设00,Pxy，,APBPynynkkxmxm，以及14AMBMkk，224..1ab，由110FNFM,由椭圆的定义可得22423..2ac，结合222..3abc，综合