构造对偶式的八种途径

构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。一．和差对偶对于表达式()()uxvx，我们可构造表达式()()uxvx作为它的对偶关系式。例１若02，且3sin4cos5，求tan的值。解析：构造对偶式：3sin4cosy则3sin4cos5,3sin4cosy得5sin65cos8yy再由22sincos1，得：73,tan54y。点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。例２已知：,,,abcdR，且22221abcd，求证：444444()()()()()()6abacadbcbdcd。解：444444444444()()()()()():()()()()()()MabacadbcbdcdNabacadbcbdcd设,构造对偶式则有：4444222222222222222226(222222)6()6MNabcdabacadbcbdcdabcd又0N，故6M，即原不等式成立。例３解方程：2282182110xxxx解：构造对偶式：22821821xxxxa，再由原方程联立可解得：2210821,(1)210821,(2)2axxaxx那么22(1)(2)得：221242(100),(3)2xa22(1)(2)得：1610xa，即85xa，代入（３）中得：22164242(100)225xx，整理得：29425x，解得：103x。二．互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例４若,,(0,1)xyz，求证：1113111xyyzzx。解：设111111Mxyyzzx,构造对偶式：(1)(1)(1)Nxyyzzx，则1111(1)(1)(1)11112226MNxyyzzxxyyzzxyz而3N，故3M，即1113111xyyzzx。例５设123,,,,naaaa为互不相等的正整数，求证：32122211112323naaaann。解：设Ｍ＝32122223naaaan，构造对偶式：12111nNaaa则212212111111()()()1232nnaaMNaaaann又123,,,,naaaa为互不相等的正整数，所以111123Nn，因此111123Mn。点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。例６已知对任意(,0)(0,)x总有1()2()0fxfxx，求函数()yfx的解析式。解析：因1()2()0fxfxx①用1x替代上式中的x，构造对偶式：11()2()0ffxxx②由①－②×２得：12()4()0fxxfxx故22()3xxfxx。三．共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。例７已知zc，解方程：313zzizi。解析：由313zzizi①构造对偶式：313zzizi②由①－②得2zz，代入②得(1)(13)0zzi，故1z或13zi。例８若zc，已知1z且1z，证明：11zz为纯虚数。解：设Ｍ＝11zz，则11()11zzMzz，构造对偶式：Ｎ＝11zz则Ｍ＋Ｎ＝11zz＋11zz＝０（因为21zzz）又101zz（因为1z）∴11zz为纯虚数。例９已知：0,0ab，且1ab，求证：212122ab。证明：设Ｍ＝2121ab，构造对偶式：Ｎ＝2121ab∵2224()48MMNab∴22M，即原不等式成立。四．倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。例１０求和：12341234nnnnnnSCCCCnC解析：观察和式联想到*,0,knknnCCknnN，故首先在和式右边添上一项00nC，则012012nnnnnSCCCnC①构造对偶式：0120(1)(2)0nnnnSnCnCnCC②即②亦为：012012nnnnnSCCCnC③由①＋③得：011nnnnnnnCnCnCnC∴0110112()nnnnnnnnnnnnSnCnCnCnCnCCCC∴22nSn∴2nSn点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例１１正项等比数列{}na中，123123,nnTaaaaSaaaa试用Ｓ，Ｔ表示12111nQaaa。∵∴解析：传统解法都用1,aq表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过1a和q找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论1q和1q两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。由题意知：123nTaaaa①构造倒序对偶式：121nnnTaaaa②由①×②得：2212111()()()()nnnnTaaaaaaaa，即21()nnTaa再来看：12111nQaaa③构造倒序对偶式：11111nnQaaa④即③＋④得：12211111112()()()nnnQaaaaaa，即122112212nnnnnnaaaaaaQaaaaaa。由等比数列性质可知，右边的分母均为1naa，故12111()()()2nnnnaaaaaaQaa即122nSQaa，∴1nSQaa又21nnaaT∴22nnSSQTT。五．定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。例１２已知函数22()1xfxx。111()()()(1)(2)(3)(4)432fffffff，则Ｓ＝。解析：22222221()11()()111111()xxxfxfxxxxx发现定值：1()()1fxfx。那么111()()()(1)(2)(3)(4)432Sfffffff①构造对偶式：111(4)(3)(2)(1)()()()234Sfffffff②由①＋②得：1112[()(4)][()(3)][()(2)]2(1)432111[(2)()][(3)()][(4)()]234Sfffffffffffff∴２Ｓ＝７，即72S。六．奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。例１３求证：135211246221nnn。解：设135212462nMn，构造对偶式：246235721nNn。由于1234212,,,,2345221nnnn因此MN，从而2121MMNn故121Mn。例１４求证：311(11)(1)(1)31432nn证明：待证不等式的左边为：112531(11)(1)(1)4321432nnn。令：25311432nMn构造两个对偶式：3634731,2531363nnNPnn∵23456731331,,12345632313nnnnnn∴325313634731()()()1432253136331MMNPnnnnnnn∴331Mn故原不等式成立。七．轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。例１５求证：对任意实数.1,1ab，都有22811abba不等式成立。证明：设2211abMba构造对偶式2211baNba，则22222()()011(1)(1)abbaababMNbaba，即MN而1111114(1)(1)42281111Nbabababa，∴8MN，即8M。当且仅当2ab时等号成立。例１６设,,abcR，求证：2222abcabcabbcca。证明：设222abcMabbcca，构造对偶式：222bcaNabbcca，∴222222222abbccaabbccaMNabcabbcca。又0MN，即2abcMN，∴2222abcabcabbcca。八．互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。例１７已知[0,]2x，解方程：222coscos2cos31xxx解析：若令222coscos2cos3Mxxx，构造对偶式：222sinsin2sin3Nxxx则：3MN①2cos2cos4cos62coscos32cos312cos3(coscos3)14coscos2cos31MNxxxxxxxxxxxx∴4coscos2cos31MNxxx②由①＋②得：1coscos2cos3(22)4xxxM，又1M∴coscos2cos30xxx∴cos0cos20cos30,[0,]2xxxx或或∴6x或4x或2x。例１８求22sin10cos40sin10cos40的值。解析：令22sin10cos40sin10cos40M，构造对偶式：22cos10sin40cos10sin40N，则2sin104010sin402sin502080sin104010sin4012sin50sin30sin30sin502MNcoscosMNcoscoscoscos∴2sin501sin502MNMN∴34M点评：这是一道比较典型的三角求值题。通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜。在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能提高解题速度，而且能收到以简驭繁，简缩思维，拓宽思路的功效，同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，对于激发学生学习数学的兴趣也是大有裨益。