山东省东营市19届中考数学复习-专题六-二次函数压轴题

专题六二次函数压轴题纵观近几年东营地区的中考试题，在试卷的最后一题都是以二次函数为载体的题目，难度较大，是考生最易失分的题目．试题由三个小问题组成，第一问求解二次函数解析式，第二问和第三问一般都是求动点的坐标，而题目中的动点可能在抛物线上，也可能在坐标轴或者直线上；设问一般与角、三角形、四边形、圆有关，考查直角的判定、三角形全等或相似、特殊四边形的判定、三角形的面积等知识，综合性强，考查知识面广．东营市中考试题中每年都会出现考查二次函数的压轴题目．例如：2017年第25题考查解直角三角形、二次函数的解析式、三角形周长的最大值；2016年第25题考查二次函数的解析式、三角形的面积和特殊四边形的判定；2015年第25题考查二次函数的解析式、三角形面积和直角的判定．类型一面积类问题与二次函数有关的面积问题中，一般先根据动点所在的位置(如抛物线上、直线上或坐标轴上等)设出动点的坐标，再根据两点之间的关系求出线段的长度(含未知数)，利用已知条件列出含有未知数的等式，求出未知数，从而得到动点坐标．例1(2016·丹东)如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式；(2)根据二次函数的对称轴x＝2写出点C的坐标为(3，3)，根据面积公式求△ABC的面积；(3)因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标(m，－m2＋4m)，利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；(4)分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．【自主解答】(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，∴抛物线解析式为y＝－x2＋4x.(2)点C的坐标为(3，3)．又∵点B的坐标为(1，3)，∴BC＝2.∴S△ABC＝×2×3＝3.12(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D.设点P(m，－m2＋4m)，根据题意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S四边形HAPD－S△BPD，即6＝×3×3＋(3＋m－1)(m3－4m)－(m－1)·(3＋m2－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(舍去)，m2＝5，∴点P的坐标为(5，－5)．(4)△CMN的面积为或5或17.1212121．(2016·潍坊)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；13(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，所以抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.1313(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0.∴C(－6，1)．设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，则直线AB的解析式是y＝－x＋1.13则直线AB的解析式是y＝－x＋1.设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m.∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×EF＋AC×PF＝AC×(EF＋PF)＝AC×PE＝×6×(－m2－3m)131313121212121213＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.又∵－6＜m＜0，则当m＝－时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点P的坐标是9281492814(3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°.同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.可求AB＝AB＝9，AC＝6，CP＝3，131322①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)，②当△CQ2P∽△ABC，设Q2(t2，1)，综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．类型二平行四边形类问题在求解与平行四边形有关的二次函数问题时，一般也是先根据动点的位置设出动点的坐标，利用两点之间的距离或两条直线之间的位置关系列出相应的等式，通过解方程得出未知数的值，从而使问题得以解决．例2(2016·襄阳)如图，已知点A的坐标为(－2，0)，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点．(1)求出B、C两点的坐标、抛物线的解析式及顶点D的坐标；34(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．【分析】(1)分别令y＝0和x＝0，将得到的x，y分别代入y＝－x＋3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式，最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出抛物线解析式和顶点D的坐标；(2)当四边形DEFP为平行四边形时，DP∥BC，设直线DP的解析式为y＝mx＋n，则m＝－，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标．3434【自主解答】(1)令x＝0代入y＝－x＋3，∴y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，代入y＝－x＋3，∴x＝4，∴B(4，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，3434把C(0，3)代入得－8a＝3，∴a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3，∴顶点D的坐标为(1，)．383834278(2)当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形．设直线DP的解析式为y＝mx＋n，∵直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴m＝－，∴y＝－x＋n.把D(1，)代入y＝－x＋n，得n＝，34343427834338∴直线DP的解析式为联立解得x＝3或x＝1(舍去)．把x＝3代入∴点P的坐标为(3，)．2．(2017·泰安)如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋k.∵A(－1，0)在抛物线上，∴0＝－(－1－1)2＋k，∴k＝4，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋4＝3，∴点C(0，3)，∴OC＝3.又B(3，0)，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°.如图，过点N作NH⊥y轴，垂足为H，∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，∴NH＝CH，∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，则设点N为(a，－a2＋2a＋3)，∴a＋3＝－a2＋2a＋3，解得a＝0(舍去)或a＝1，∴N(1，4)．(3)∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，设P(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t＋1，－t2＋2t＋3)．将点Q(t＋1，－t2＋2t＋3)代入得－t2＋2t＋3＝(t＋1)＋，整理得2t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝.323212∴－t2＋2t＋3的值为3或.∴点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或154