材料力学-第五版-附录I-截面的几何性质+习题答案

1附录I截面的几何性质习题解[习题I-1]试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。（a）解：)(24000)1020()2040(3mmyAScx（b）解：)(42250265)6520(3mmyAScx（c）解：)(280000)10150()20100(3mmyAScx（d）解：)(520000)20150()40100(3mmyAScx[习题I-2]试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dxxddA)(；微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的静矩为：dxdxxdxxdydxxdydAdSxsinsin)(22半圆对x轴的静矩为：32)]0cos(cos[3]cos[]3[sin33003002rrxddxxSrrx因为cxyAS，所以cyrr23213234ryc[习题I-3]试确定图示各图形的形心位置。（a）解：习题I-3(a):求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.646.4Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai(b)解：习题I-3(b):求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左90109005549500545002500575002313250053Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai(c)3解：习题I-3(c):求槽形与L形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢2032.83710328.37-1.95-64.03等边角钢80*1015.1262.3535.5462.3535.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩xI、yI和惯性积xyI。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dxxddA)(；微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的惯性矩为：dxdxdxxdxdxxdydAydIx232222sinsin)(四分之一圆对x轴的惯性矩为：2/0042/020322cos1]4[sindxddxxIrrx)]2(2cos21[2142/02/04ddr}]2[sin212{82/04r164r由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：4164rIIxy微分面积对x轴、y轴的惯性积为：xydAdIxy8)42(21]42[21)(2144404222200022rrrxxrdxxrxydxxdxIrrxrrxy[习题I-5]图示直径为mmd200的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm20的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。解：圆的方程为：222ryx如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dyyrdA222切去2之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：dyyryIrrx22sinsin22sinsin42222arcsin8)2(82rrryryrryy)4sin41(24r)4sin4(84r2221100)20100(x360021x5)(601mmx346020100tan)(927.013.5334arctan0rad)(10963.3)52.212sin927.04(81004704mmIx[习题I-6]试求图示正方形对其对角线的惯性矩。解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。dyydzdyydzdAyIaazazazazaAz22022222222220222][222022022202022dyydzdyydzaazaza][3222022030222203aazaazdzydzy])22()22()22()22([3222030223aaazdazazdazaaazaz220402244)22(324)22(32=16163244aa124a6故正方形对其的对角线的惯性矩为：124aIz。[习题I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。(a)解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mmDIx(b))(9044999915090121210150121433mmIx[习题I-8]试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得7[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1m。解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩[习题I-10]试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是8上面一个圆的圆心到轴的距离是d632。利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下：[习题I-11]试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩)(657600002)1012011510120121(104.34237mmIz（b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下：习题I-11（b）图图形bhIxcaAIx中间矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形1795100271.61926143869495右上L形1795100271.61926143869495左下L形1795100271.61926143869495右下L形1795100271.61926143869495AaIIxcx212206446459[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下：[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。习题I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全图28000011900000042513358333333习题I-13(b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图(3)2515037502751031250148703125089601489中图(2)20015030000125375000025625000056328044下图(1)10050500025125000102104166752667577全图38750490625012719859711010习题I-13(c)图形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半圆790-980333335-32869266742750202791399198820222116全图14806671086382333734134393476159半圆：3/4ryc半圆：9/88/44rrIxc习题I-13(d)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)从下往上2201635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269940824269922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914[习题I-14]在直径aD8圆截面中，开了一个aa42的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩xI和yI。解：先求形心主轴的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y轴向下为正）（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）11（组合图形对形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.001-82.6671.189314.0圆450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9[习题I-15]正方形截面中开了一个直径为mmd100的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题I-15图形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圆50-392779-309365685977242860346全图36073369063510213068645534100ryc98844rrIxcAaIIxcx2形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4130686455mmIx。对竖直形心轴的惯性矩：12)(13087896685014159.31220081244444mmraIy习题I-15图形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圆502454367全图13087896681244raIy[习题I-16]图示由两个a20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩xI和yI相等，则两槽钢的间距a应为多少？解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是；若即等式两边同除以2，然后代入数据，得13于是所以，两槽钢相距[习题I-17]试求图示截面的惯性积xyI解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为ccyx0，则由平行移轴公式得：2241)2()2(0hbbhbhabAIICCyxxy故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为：2241hbIxy[习题I-18]图示截面由两个mmmmmm10125125的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩maxI和最小惯性矩maxI。解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过