计数原理-2012-2018高考真题

-1-计数原理高考真题汇总2017~2018年一.排列与组合1.(2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.121B.141C.151D.181[答案与解析].符合题意的素数有:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,故不同的取法有210C=45种其中和为30的组合有:{7,23},{11,19},{13,17}三种,故P=453=151,选C.2.(2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码，共中5克，3克，1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____（结果用最简分数表示）[答案与解析].砝码有5个,故不同的取法有35C=10种,总质量为9克的仅{9,3,1},{9,2,2}两种,故P=102=51,3.(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列,减去0为首位的情况.即331325442425ACCACC=1260个4.(2018·新课标1·理)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)[答案与解析].方法一:先从两女生中选出1人,余下2个名额在4男1女中任意选取.故2512CC=20,但这里包括了2名女生入选的情况,若2名女生入选再乘12C就重复了,所以,即不同的选法共有20–1422CC=16.方法二:在六人中任取三人,减去作是男生的情况3436CC=16方法三:分女生有1人,2人入选两种情况讨论2412CC+1422CC=165.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.12种B.18种C.24种D.36种[答案与解析].D4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选D．6.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）[答案与解析].1080根据题意，分2种情况讨论：-2-①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．7.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法．（用数字作答)[答案与解析].660第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660二.二项式定理1.(2018·全国3·理)522xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80[答案与解析].Tr+1=rrrrxxC2)5(25,由10–2r–r=4,解得r=2,于是所求系数为2252C=40,故选C.2.(2018·天津·理10)在521xx的展开式中x2的系数为_______[答案与解析].Tr+1=2552rrrrxxC,由25rr=2,解得r=2,于是所求系数为2252C=253(2018·上海3)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为________(结果用数值表示)[答案与解析].4.(2018·浙江)二项式8321xx的展开式的常数项是______.[答案与解析].5.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A.15B.20C.30D.35[答案与解析].C（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=+23×=40．故选C．6.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A.﹣80B.﹣40C.40D.80-3-[答案与解析].C（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=________，a5=________．[答案与解析].16；4多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．8.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．[答案与解析].（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=（3x）r=3rxr．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．-4-2015~2016年一.排列与组合1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9[答案与解析].B[从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个[答案与解析].C[第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72[答案与解析].D[由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[答案与解析].B[取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]-5-5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个[答案与解析].B[由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]6.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).[答案与解析].1560[依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560条毕业留言.]二.二项式定理1.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4[答案与解析].A[由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.选A.]2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60[答案与解析].C[Tk＋1＝Ck5(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C25(x2＋x)3y2的第r＋1项为C25Cr3x2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为C25C13＝30.]3.(2015·湖南，6)已知x－ax5的展开式中含32x的项的系数为30，则a＝()A.3B.－3C.6D.－6[答案与解析].D[x－ax5的展开式通项Tr＋1＝Cr5x5－r2(－1)rar·x－r2＝(－1)rarCr5x52－r，令52－r＝32，则r＝1，∴T2＝－aC15x32，∴－aC15＝30，∴a＝－6，故选D.]4.(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A.4B.5C.6D.7[答案与解析].C[由题意易得：Cn－2n＝15，Cn－2n＝C2n＝15，即n（n－1）2＝15，解得n＝6.]5.(2016·全国Ⅰ，14)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________(用数字填写答案).[答案与解析].10[(2x＋x)5展开式的通项公式Tk＋1＝Ck5(2x)5－k(x)k＝Ck525－kx5－k2，k∈{0,1,2,3,4,5}，-6-令5－k2＝3解得k＝4，得T5＝C4525－4x5－42＝10x3，∴x3的系数是10.]6.(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________.[答案与解析].60[展开式的通项Tr＋1＝Cr6·16－r·(－2x)r＝Cr6(－2x)r.令r＝2得T3＝C26·4x2＝60x2，即x2的系数为60.]7.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答).[答案与解析].40[展开式通项为：Tr＋1＝Cr525－rxr，∴当r＝3时，系数为C35·25－3