江苏省高三数学高考之填空题的解答技巧

填空题的解答技巧赖峰江苏新坝中学[e-mail]摘要:从历年全国高考的阅卷结果来看，数学填空题的得分率往往比选择题低。究其原因，大致有以下几种：填空题缺少选择题中近项的提示；考生思考问题不严谨、书写不规范；填空题中新题型较多，考生不太适应等。近两年江苏高考数学命题又取消了选择题，这就造成得分率下降，因此2008年江苏高考数学填空题的难度不高，是普通中学学生得分的关键所在。填空题的主要特点是题目小、跨度大、知识覆盖面广，渗透着各种思想与方法，形式灵活，突出考查学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力，近年来填空题作为命题组改革试验的一个窗口，因此出现了不少创新题型：如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．本文根据高考填空题的命题特点，针对学生易错的地方，结合近年的高考试题．总结一些填空题的解答技巧，分析如何通过检验提高填空题的正确率，供大家参考。关键词：定量型定性型填空题解答技巧高考根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质。填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以划归为我们熟知的题目或基本题型。填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。解答填空题的常用方法是：一、直接法；二、特殊法；三、数形结合法；四、构造法；五、分析法；六、整体代入法；七、定义法；八、等价转化法等等。一、直接法：直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。例1设复数24cossin21z在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转43后得到向量2OZ，2OZ对应的复数为sincos2irz，则.____tan解：应用复数乘法的几何意义，得43sin43cos12izzABCEFA1B1C1icossin2cossin222，于是，1tan21tan2cossin2cossin2tan故应填.1tan21tan2练习1在等差数列{}na中，若100a，则等式121219nnaaaaaa（19,nnN）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{}nb中，若91b，则有等式成立。Nbbbbbbnnnn*172121,17二、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。例2在三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1，C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2＝。解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V1＝13（1＋4＋4）=73，V2＝V－V1＝53，则V1:V2＝7:5。练习2对正整数n，设曲线)1(xxyn在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列}1{nan的前n项和的公式是解：1(1)nnynxnx，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=21nnan.数列1nan的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2检验：可取n=1，2时的值验证之。三、数形结合法：一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。例3设对任意实数[2,2]x，函数2()lg(3)fxaaxx总有意义，则实数a的取值范围是。xyO-22解：函数()fx有意义，有230aaxx，即230xaxa在[2,2]x时恒成立。设2()3gxxaxa，则当[2,2]x时，()0gx恒成立。依右图抛物线的特征，有(2)0(2)0gg，得45040aa，解得4a。另解：函数()fx有意义，有230aaxx，即230xaxa在[2,2]x时恒成立。得23xax，运用导数可求得23xyx在[2,2]x时的极大值为4，于是4a。练习3若双曲线xk229－yk224＝1与圆x2＋y2＝1没有公共点，则实数k的取值范围是。解：在同一坐标系中作出双曲线xk229－yk224＝1与圆x2＋y2＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到|3k|1,故求得实数k的取值范围是k13或k－13。精典范例已知1z，51zz，则z．解：由51zz联想复数加法的几何性质，不难发现51zz，，所对应的三点ACB，，及原点O构成平行四边形的四个顶点如图，则AOB△为等边三角形易求得1322zi；当点z对应的点A在实轴下方时，1322zi，故填1322i或1322i．四、构造法yO13|k|x根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。例4如果函数221xxxf，那么._____4143132121fffffff解：容易发现11tftf，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝2731f，应填.27变式新题：设221xxf，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得.______650f45ffff223练习4设非零复数yx,满足022yxyx，则代数式20052005yxyyxx的值是____________.解将已知方程变形为112yxyx，解这个一元二次方程，得.2321iyx显然有231,1,而166832005,于是原式＝200520052005111＝20052200521＝.112在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.五、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。例5设{}na是首项为1的正项数列，且2211(1)0nnnnnanaaa(n=1,2,3,…),则它们的通项公式是na。1n练习5椭圆2244xy长轴上一个顶点为以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。1625六、整体代入法将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。例6三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6、4、3，则它的体积等于。解：设三条棱长分别为,,xyz，则6,4,3xyxzyz。得111()()()6432666Vxyzxyxzyz。七、定义法直接运用数学定义、性质等去求解，它可以优化解题过程。例7有以下四个命题：①；〉3122nnn②；1226422nnnn③凸n边形内角和为；31nnnf④凸n边形对角线的条数是.422nnnnf其中满足“假设0,kkNkkn时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0nn（0n是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是.解①当n=3时，13223，不等式成立；②当n=1时，21122，但假设n=k时等式成立，则2111221264222kkkkkk；③133f，但假设1kkf成立，则；111kkfkf④22444f，假设22kkkf成立，则.221131kkkkfkf故应填②③.例8．如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是.（要求：把可能的图的序号都填上）解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图○2所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图○3所示.故应填○2○3.八、等价转化法从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的和未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的和已知的问题来解决。例9复数z满足103zzi，则z等于．解：利用复数相等的定义求复数的关键是要把两个复数转化成代数形式．设()zabiabR，，则223ababii，2231abab，，∴431.ab，∴所以43zi．除去上述方法外还有其它的如：变形公式法—变形公式法是指从课本或习题中总结出来，但又不是课本的定理的“真命题”，用于解答填空题具有起点高、速度快、准确性强等优点；逆向思维—从问题反面出发，从未知入手，寻求使结论成立的原因，从而使问题获解。填空题的解法主要分直接法和间接法两大类。直接法是解答填空题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有填空题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答。因此，我们还要掌握一些特殊的解答填空题的题型和检验方法。如代入检○1○2○3○4ABDCEFA1B1C1D1验，赋植检验等。例10．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1,n=1,an=,n≥2.错解：由an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)与123211)1()2(32nnnananaaaa----------①得naaaaaaaanaannnn13423121,,4,3,2故naaaaaaaann321342312得nan！检验：当n=2时a2=a1=1知解法有误，实际上①式仅对于3n成立。从而naaaaaann313423，得nan21！（2n）。所以正确的答案是：nan21！（2n）。例11．求过点P（3，2），且与圆1)1()4(22yx相切的直线方程。误解：设所求切线方程为)3(2xky，即032kykx则圆心（4，1）到此切线的距离等于半径1，所以11|3214|2kkk，01)1(22kkk解得，故所求的切线方程为y=2。检验：作出图形可以看出过一点作圆的切线应该是两条。为什么上面的解法只求出一条？