(王超越整理)高三一轮复习-函数的基本性质

1第2节函数的基本性质知识点考向：函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的热点，题型既有选择、填空，又有解答题，预计2017年函数的性质会与向量、不等式、三角函数、导数等知识结合，进行综合考察，在备考中应加强这方面的练习。基础知识梳理一、函数的单调性与最值1．函数的单调性注：（1）函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致。一致则为增函数，不一致则为减函数。（2）单调性的等价形式：)(xf在区间D上是增函数Dxx21,当21xx时，有0)()(21xfxf0)]()([)(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf；)(xf在区间D上是减函数Dxx21,，当21xx时，有0)()(21xfxf0)]()([)(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf；2．函数的单调区间如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这一区间具有单调性，区间D叫作)(xfy的单调区间。增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数)()(21xfxf，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的2注：（1）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的。（2）函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数xy1在0,和,0上都是减函数，但在整个定义域上不具有单调性。（3）“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然MN（4）一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接。（5）判断一个函数在区间D上是增函数，需要说明对于任意的Dxx21,，21xx时，都有)()(21xfxf成立。而要判断一个函数在区间D上不是增函数，只需说明存在两个自变量Dxx21,，21xx时，)()(21xfxf成立即可。判断一个函数在区间D上是否减函数的方法亦然。3.函数单调性的运算性质（1）)(xf与cxf)(（c为常数）具有相同的单调性（2）0a时，)(xf与)(xfa具有相同的单调性；0a时，)(xf与)(xfa具有相反的单调性（3）)(xf，)(xg在同一区间上都是增函数时，)()(xgxf为增函数；都是减函数时，)()(xgxf为减函数（4）)(xf恒不为0时，)(xf与)(1xf单调性相反（5）)(xf非负时，)(xf与)(xf单调性相同（6）)(xf，)(xg在同一区间上都是恒正的增（减）函数时，)()(xgxf是增（减）函数；都是恒负的增（减）函数时，)()(xgxf是减（增）函数（7）))((xgf的单调性遵循“同增异减”的原则4.函数单调性的证明方法（定义法）○1任取1x，Dx2且21xx；○2作差)()(21xfxf；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差)()(21xfxf的正负）；○5下结论（即指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性）．5.函数单调性的判断方法（1）定义法3（2）图像法（3）性质法（参见3.函数单调性的运算性质）（4）导数法6函数的最值注：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得．(2)开区间上的单调函数不存在最大、最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大、最小值。函数的奇偶性与周期性基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数．一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．注：(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值4③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有)()(xfTxf，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()hhhhyfxyfxh左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyfxyfxk上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()yfxyfx伸缩01,1,()()AAyfxyAfx缩伸③对称变换()()xyfxyfx轴()()yyfxyfx轴()()yfxyfx原点1()()yxyfxyfx直线()(||)yyyyfxyfx去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|xxyfxyfx保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．5