矩阵

第二章矩阵矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基本性质。2.1矩阵的概念例1某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产量分别如下表所示：季度产品甲乙丙季度产品甲乙丙一a11a12a13三a31a32a33二a21a22a23四a41a42a43表中的aij表示第i季度第j种产品的产量，这里i=1,2,3,4;j=1,2,3。这张产品的产量表可用以下符号表示：111213212223313233414243aaaaaaaaaaaa例2含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列(2.4)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaa212222111211例3生产m种产品需用n种材料，如果以aij表示生产第i种产品(i=1,2,…,m)耗用第j种材料(j=1,2,…,n)的定额，则消耗定额可用一个矩形表表示，如表2.1所示。这个由m行n列构成的消耗定额表，也可以排成矩形阵列(2.4),它描述了生产过程中产品的产出与投入材料的数量关系，这个矩形阵列称为矩阵。表2.1…………………………………………12…i…m12…j…n定额材料产品11a12a1ja1na21a22a2ja2na1ia2iaijaina1ma2mamjamna定义1由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成m行n列的数表叫做m行n列矩阵，简趁称mxn矩阵。这mxn个数叫做矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)mxn矩阵A也记为Amxn两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们是同型矩阵；若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B(1,2,,;1,2,,)ijijabimjn同型矩阵与矩阵相等:当行数m与列数n相等时,A称为n阶方阵；单位矩阵n阶方阵叫作n阶单位矩阵，简记为E或En特点：从左上角到右下角的直线（叫左对角线)上的元素都是1，其他元素都是0100010001nE方阵和几类特殊的方阵对角矩阵n阶方阵叫作对角矩阵特点：不在主对角线上的元素都是012000000nA数量矩阵n阶方阵叫作数量矩阵特点：主对角线上的元素都相等，其他元素都是0000000aaAa上三角矩阵n阶方阵叫作上三角矩阵特点：位于主对角线下方的元素都是011121222000nnnnaaaaaAa下三角形矩阵n阶方阵叫作下三角形矩阵特点：位于主对角线上方的元素都是011212212000nnnnbbbAbbb对称矩阵设A为n阶方阵，如果那么A称为对称矩阵。特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。(,1,2,,)ijjiaaijn反对称矩阵设A为n阶方阵，如果那么A称为反对称矩阵。(,1,2,,)ijjiaaijn111211222212nnnnnnaaaaaaaaa12112212000nnnnaaaaaa只有一行的矩阵叫做行矩阵；只有一列的矩阵称为列矩阵。123(,,,,)nAaaaa12mbbBb零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0,注意:不同型的零矩阵是不同的。其他常用的矩阵负矩阵:元素全部变为相反数称为原矩阵的负矩阵。Aijaij若则-A=-a一、矩阵的加法定义2两个m行n列矩阵A=(aij)mxn，B=(bij)mxn对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。()()()ijmnijmnijijmnABabab☞第二节矩阵的运算矩阵加法的运算律：（1）（2）由此规定矩阵的减法为ABBA()()ABCABC(3)()0,0AAAA()ijijABABab二、数与矩阵相乘定义3以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn，那么数乘矩阵的运算规律：（1）（2）（3）（4）()ijmnAAa()()uAuA()uAAuA()ABAB1AA注意：矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。☞例2.3设求A-B,2A-B121213,.354147AB解：121213112354147202AB12121303122354147541AB例2.4设且A+2X=B,求X15795197,.24683216AB解：A+2X=B,得X=1/2(B-A)5197157911()()3216246822221144221)17127221122BA三、矩阵的乘法：定义4设A=(aij)是一个mxs矩阵，B=(bij)是一个sxn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mxn矩阵C=(cij)，其中并把此乘积记作C=AB称为A左乘B或B右乘A11221sijijijissjikkjkcabababab(1,2,,;1,2,,)imjn注意(1)只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘(2)乘积的第i行第j列的元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵第j列的对应元素的乘积之和。☞例求矩阵与的乘积AB与BA；1003A3021B3023BA3063AB解:ABBA注意：例2.6设1035,23AB10352035061030915BA10352013253213AB则:ABBA注意：例2.7设112233,,112233ABC113300113300AC112200112200AB则:,ABACC但B注意：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA这表现在三个方面，首先，乘法规则要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，否则没有意义，即使当AB有意义时，BA不一定有意义；其次，即使AB与BA都有意义，它们的阶数不一定相等；最后，当相乘的矩阵都是n阶方阵，这时AB与BA都有意义，而且都是n阶方阵，由上例知也不一定相等。☞矩阵乘法的运算规律：（1）（2）（3）对于单位矩阵E，易知()()ABCABC()ABCABAC()ABCACBCmmnmnEAAmnnmnAEA()()()ABABAB（其中λ为数）定义n阶方阵的幂：Ak=AA…A(k个A相乘)显然只有方阵的幂才有意义，由于矩阵乘法一般满足结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：(1)(2)(3)klklAAA()klklAA()kkkABAB例试证：证明:当n=1时，等式自然成立设n=k时，等式成立，即要证n=k+1成立，此时有于是等式得证101101nn),2,1(n101101kk1011011011011011kkk10)1(1110011011011kkk例2.8设有线性变换11111221332211222233yaxaxaxyaxaxax111112213322112222333311322333xbzbzbzxbzbzbzxbzbzbz求从z1,z2,z3到y1,y2的线性变换。解：以上两式可以写成：11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbzxbbzxbb即Y=AX和X=BZ解：以上两式可以写成：11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbzxbbzxbb即Y=AX和X=BZ则Y=（AB）Z1112111213112122212223223132bbaaayzbbaaayzbb111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()yabababxabababxyabababxabababx故例2.9设求解:12nA3A1112223nnnA2112222nn31323n事实上1122nnnnnnAA则含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列则AX=bmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111112111212222212,,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAXbaaaxb定义7把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫作A的转置矩阵，记作AT四、矩阵的转置132101TA120311A例如的转置矩阵为矩阵转置的运算规律(1)()TTAA(3)()TTTABAB(2)()TTAA(4)()TTTABBA只证明性质(4)设A=(aij)mxs,B=(bij)sxn,记AB=C=(cij)mxn,BTAT=D=(dij)nxm,于是由矩阵的乘法规则，有因此所以即D=CT，亦即1sijjkkikcab11ssijkijkjkkikkdbaab(1,2,,;1,2,,)ijijdcinjm()TTTBAAB1(,,)isibb1(,,)Tjjsaa而BT的第i行为，AT的第j列为例