北师大版七年级数学下册第二章-：相交线与平行线培优讲义(含解析)

1第二章相交线与平行线培优讲义内容基本要求略高要求较高要求相交线平行线了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行相交直线的概念及性质如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交，O为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.如图中，1和3，1和4，2和3，2和4互为邻补角.互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对4321DCBA2顶角.我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1和2，3和4是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“ABCD于O”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.DCBA3看图识角：（1）“F”型中的同位角.如图.（2）“Z”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。87654321FEDCBAFMNDBFMNCAMNDBEMNECANMDANMBCNMCA4平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行5方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等【例1】如图，直线AB、CD交于O，OE平分AOD，30BOCBOD°，求COE的度数．【解析】由BOC、BOD互为邻补角可知，180BOCBOD．又30BOCBOD，故105BOD，75BOC．由对顶角相等可知，75AODBOC°．图3OEBDAC6又OE平分AOD，故37.5AOE，从而可知，37.5105142.5COE．【答案】142.5【例2】过点O任意作7条直线，求证：以O为顶点的角中，必有一个小于26.【解析】略【答案】如图，点O把7条直线分成14条射线，记为1OA，2OA，…，14OA.相邻两射线组成14个角，记为1，2，…，14.其和为一个周角：1214360.若结论不成立，则i≥26，(1,2,,14)i.相加，得1214360≥2614364.这一矛盾说明，在1，2，…，14中，必有一个角小于26.【例3】平面上有2nn≥条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于180n.【解析】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为122...n，，，.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于180n，于是有122180...2360nnn，这与122...360n相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.A7A6A5A4A3A2A1O7【答案】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为122...n，，，.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于180n，于是有122180...2360nnn，这与122...360n相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.【例4】三条不同的直线相交于同一点O，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是60．在以O为顶点的六条射线上各取一不同于O的点，按顺时针方向依次记为ABCDEF，，，，，．则AOB，BOC，COD，DOE，EOF和FOA中至少有两个角是()．A．60B．120C．锐角D．钝角【解析】如下图所示，画出两条直线在点O处交成60对顶角后，第三条过点0的直线要么过60角内部，要么过120的内部(即60角的外部)．无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角．故选C．【答案】C【例5】求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上．【解析】略【答案】如图，ABCD，交于O，则AOC与BOD成对顶角．设OEOF，分别为AOCBOD，的平分线。60°（a）DCBAFEO60°（b）DCBAFEFEDCBA8∵AOEEOCBOFFOD，，且AOCBOD，∴AOEBOF。又∵180BOFFODDOA∴180AOEFODDOA。即180EOF∴OEOF，在同一直线上。【例6】如下图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE.现有一辆装满货物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】略【答案】因为卡车的速度是固定不变的．卡车11分钟内能否将货物运到铁路线旁，关键是能否在铁路线AE上找到一点，使这点到D点的距离不大于11分钟卡车所行驶的路程．由“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，想到过点D作AE的垂线，然后再比较垂线段的长度与卡车11分钟能行驶的路程的大小，得出结论．如图所示，汽车由D点到直线铁路段AE的最短距离是由D向AE引的垂线DH．连结DE．1118432092160022AEDSS正方形又11160080022AEDSAEDEDHDH∴800921600DH∴1152DH（米）卡车行1152米，需要11529612(分钟)11(分钟)．∴在11分钟内不能将这车货物由D点运到铁路线旁．EDCBA9【例7】⑴两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵三条平行直线呢?四条、五条呢?⑶你发现了什么规律.【解析】⑴两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵当有3条平行线时，有34=12对同位角，32=6对内错角，32=6对同旁内角；当有4条平行线时，有64=24对同位角，6212对内错角，6212对同旁内角；当有5条平行线时，有10440对同位角，10220对内错角，10220对同旁内角.⑶当n条线彼此平行时，被直线m所截，即1l∥2l∥…∥nl，则共有(1l，2l)、(1l，3l)、(1l，4l)、…(1l，nl)；(2l，3l)、(2l，4l)、…(2l，nl)、…21(,)nnll--、2(,)nnll-、1(,)nnll-共()()()112212nnnn--+-+++=对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有14212nnnn对同位角，1212nnnn对内错角，1212nnnn对同旁内角．【答案】⑴两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角；当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；当有5条平行线时，有40对同位角，10220对内错角，10220对同旁内角.⑶当n条线彼此平行时，被直线m所截，即1l∥2l∥…∥nl，HEDCBA10则共有()12nn-对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()21nn-对同位角，()1nn-对内错角，()1nn-对同旁内角【例8】下图有对内错角．【解析】24．做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时候，要找出相同特点的线段的条数m，只需算出一条线段的关系角的对数n，故该特点的线段的关系角为mn．在本题中，线段DE、DF、EF，每条线段都有2对内错角；线段AD、BE、CF，每条线段都只有2对内错角；线段AB、AC、BC，每条线段都只有1对内错角；线段AF、BD、CE，每条线段都有3对内错角；故总的内错角为：2323133324．【答案】24【例9】已知，如图，AECAC,试用两种方法证明A