球典型例题

永久免费组卷搜题网典型例题一例1．已知地球的半径为R，球面上BA,两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为R3，A点在东经30上，求B点的位置及BA,两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．分析：求点B的位置，如图就是求BAO1的大小，只需求出弦AB的长度．对于AB应把它放在OAB中求解，根据球面距离概念计算即可．解：如图，设球心为O，北纬45圈的中心为1O，由BA,两点的球面距离为R3，所以AOB=3，OAB为等边三角形．于是RAB．由RRBOAO2245cos11，22121ABBOAO．即BAO1=2．又A点在东经30上，故B的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．BA,两点在其纬线圈上所对应的劣弧RAO4221．说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．典型例题二例2．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为cmr241，cmr152．两截面间的距离为cmd27，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,BABA，上述大圆的垂直于11BA的直径交2211,BABA于21,OO，如图2．设2211,dOOdOO，则2222222121152427RdRddd，解得25R．)(2500422cmRS圆．永久免费组卷搜题网说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．典型例题三例3．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,，求222MCMBMA的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MCMBMA,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABCM补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．222MCMBMA=224)2(RR．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．典型例题四例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V，则由43,3433VrVr，343Vr，由,3Va得3Va．322324)43(44VVrS球．32322322166)(66VVVaS正方体．2164324V32216V，即正方体球SS．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．典型例题五例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．解：如图2，球心1O和2O在AC上，过1O，2O分别作BCAD,的垂线交于图1永久免费组卷搜题网FE,．则由3,1ACAB得RCOrAO3,321．3)(3RrRr，233133rR．（1）设两球体积之和为V，则))((34)(342233rRrRRrrRV=rRrR3)(233342)233(3)233(233342RR=22)233(2)33(3323334RR当433R时，V有最小值．当433rR时，体积之和有最小值．典型例题六例6．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD的中心为O，BCD的中心为1O，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设ROArOO,1，正四面体的一个面的面积为S．依题意得)(31rRSVBCDA，又SrVVBCDOBCDA3144rrR4即rR3．所以914422Rr外接球的表面积内切球的表面积．271343433Rr外接球的体积内切球的体积．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径hr41(h为正四面体的高)，且外接球的半径rR3．图2永久免费组卷搜题网典型例题七例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222h．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622．说明：此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且还可以适当增加一点实际背景，加强应用意识．典型例题八例8过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．A．有且只有一个B．一个或无穷多个C．无数个D．以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．答案：B说明：解此易选出错误判断A．其原因是忽视球心的位置．典型例题九例9球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（）．A．34B．32C．2D．3分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R，小圆的半径为r，则42r，∴2r．如图所示，设三点A、B、C，O为球心，362COABOCAOB．又∵OBOA，∴AOB是等边三角形，同样，BOC、COA都是等边三角形，得ABC为等边三角形，边长等于球半径R．r为ABC的外接圆半径，RABr3333，3233rR．永久免费组卷搜题网答案：B说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．典型例题十例10半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．解：∵棱锥底面各边相等，∴底面是菱形．∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线aAC2，故截面SAC是等腰直角三角形．又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以RAC2，即Ra2．∴高RSO，体积33231RSOSV底．说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．典型例题十一例11在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA．求这个球的表面积．分析：24RS球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R．永久免费组卷搜题网解：设过A、B、C三点的球的截面半径为r，球心到该圆面的距离为d，则222drR．由题意知P、A、B、C四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABCP（如图所示）．ABC的外接圆是球的截面圆．由PA、PB、PC互相垂直知，P在ABC面上的射影'O是ABC的垂心，又aPCPBPA，所以'O也是ABC的外心，所以ABC为等边三角形，且边长为a2，'O是其中心，从而也是截面圆的圆心．据球的截面的性质，有'OO垂直于⊙'O所在平面，因此P、'O、O共线，三棱锥ABCP是高为'PO的球内接正三棱锥，从而'PORd．由已知得ar36，aPO33'，所以2'2222)(PORrdrR，可求得aR23，∴2234aRS球面．说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．典型例题十二例12已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且FCAF2，AEBE2．求四面体AEFD的内切球半径和外接球半径．分析：可用何种法求内切球半径，把AEFDV分成4个小体积(如图)．永久免费组卷搜题网解：设四面体AEFD内切球半径为r，球心N，外接球半径R，球心M，连结NA、NE、NF、ND，则EFDNADENAFDNAEFNAEFDVVVVV．四面体AEFD各面的面积为2392ABCAEFSS，23332ABCAFDSS，43331ABCAEDSS．DEF各边边长分别为3EF，7DEDF，∴345DEFS．∵2292ABCDADEFVV，)(31DEFAEDAFDAEFAEFDSSSSrV，∴)43543323323(3122r，∴86r．如图，AEF是直角三角形，其个心是斜边AF的中点G．设ABC中心为1O，连结1DO，过G作平面AEF的垂线，M必在此垂线上，连结1GO、MD．∵ABCMG平面，ABCDO平面1，永久免费组卷搜题网∴1//DOMG，1GOMG．在直角梯形DMGO1中，11GO，61DO，RMD，1222RAGAMMG，又∵22121)(MDGOMGDO，∴2221)16(RR，解得：210R．综上，四面体AEFD的内切球半径为86，外接球半径为210．说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本