高三数学一轮复习复数

§5.5复数第五章平面向量与复数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔_____a＋bi为虚数⇔______a＋bi为纯虚数⇔_____________知识梳理1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的，b叫做复数z的(i为虚数单位).(2)分类：ZHISHISHULI实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R).a2＋b2a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.OZ→Z(a，b)iacbdiacbdbcad2222iacbdbcadcdcd(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝，Z1Z2——→＝.OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→1.复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定.只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部.2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()××123456√×√7基础自测JICHUZICE2.[P106B组T2]设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|等于A.0B.12C.1D.2解析∵z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，题组二教材改编√1234567∴|z|＝1.故选C.3.[P112A组T2]在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i123456解析CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.√71234564.[P116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为A.－1B.0C.1D.－1或1解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.√7题组三易错自纠5.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件bi√123456解析∵复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.71234566.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意，∵z＝2－2ii＝2－2i·－ii·－i＝－2－2i，√z∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.77.i2014＋i2015＋i2016＋i2017＋i2018＋i2019＋i2020＝________.123456－i7解析原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一复数的概念A.35B.－35C.35iD.－35i自主演练1.(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为√所以z＝1－i1＋2i＝1－i1－2i5＝－1－3i5，因此复数z的虚部为－35，故选B.解析因为(1＋2i)z＝1－i，2.(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是A.－32＋12iB.－32－12iC.32－12iD.32＋12i√解析由复数2＋i1＋i＝2＋i1－i1＋i1－i＝3－i2＝32－12i，所以共轭复数为32＋12i，故选D.解析a＋2i2－i＝a＋2i2＋i2－i2＋i＝2a－2＋a＋4i5，∵复数a＋2i2－i为纯虚数，3.(2018·烟台模拟)已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于A.－4B.4C.1D.－1a＋2i2－i√∴2a－2＝0且a＋4≠0，解得a＝1.故选C.复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.思维升华命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋i题型二复数的运算√多维探究解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)i2＋3i等于A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i√解析i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.＝－3＋4i5＝－35＋45i.例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于A.－45－35iB.－45＋35IC.－35－45iD.－35＋45i解析1＋2i1－2i＝1＋2i21－2i1＋2i＝1－4＋4i1－2i2命题点2复数的除法运算√故选D.即z＝－25－15i，故选A.A.－25－15iB.25＋15iC.2＋iD.2－i(2)(2019·重庆诊断)已知i为虚数单位，复数z满足iz＝2z＋1，则z等于√解析由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，解得z＝－12－i＝－2＋i5，例3(1)(2019·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则z等于A.2B.3＋4iC.5D.7故z＝3－4i⇒|z|＝5，故选C.命题点3复数的综合运算√解析z＝－1＋7i1＋i＝－1＋7i1－i2＝3＋4i，(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4√(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.思维升华跟踪训练1(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a为A.1或－1B.1C.－1D.不存在的实数√解析由题意得z＝3－ai，故z·z＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.(2)(2019·三明质检)已知复数a＋bi＝1－i21＋i(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于A.－2B.－1C.0D.2√解析由复数的运算法则，可得1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i1＋i1－i＝－2i－22＝－1－i，结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，据此可得a＋b＝－2.故选A.题型三复数的几何意义师生共研例4(1)(2018·厦门质检)复数z满足(2＋i)z＝则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3－4i，√解析∵(2＋i)z＝3－4i＝9＋16＝5，∴2－i(2＋i)z＝52－i，5z＝52－i，z＝2－i，z在复平面内对应的点为2，－1，在第四象限，故选D.(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：①AO→，BC→所表示的复数；解∵AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.②对角线CA→所表示的复数；解∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③B点对应的复数.解OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维升华跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z＝5i3＋4i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点在A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限√解析∵z＝5i3＋4i＝5i·3－4i3＋4i·3－4i＝45＋35i，∴z＝45－35i，则z的共轭复数z对应的点在第四象限.故选A.∵OC→＝xOA→＋yOB→，(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的值是____.解析由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，5∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)，∴－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，故x＋y＝5.3课时作业PARTTHREE1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则等于A.－8－6iB.－8＋6iC.8＋6iD.8－6iz1z2基础保分练√∴z1z2＝6－8i－i＝6－8ii－i2＝8＋6i.解析∵z1＝6－8i，z2＝－i，1234567891011121314151617181920解析由题意可得z＝2＋i1＋2i，则|z|＝2＋i1＋2i＝2＋i1＋2i＝55＝1.故选C.A.35B.45C.1D.22.(2019·亳州质检)若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|等于√12345678910111213141516171819203.已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限21＋i解析21＋i＝21－i1＋i1－i＝2－2i2＝1－i，√1234567891011121314151617181920在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，故选D.4.已知i为虚数单位，若复数z满足z＋iz－i＝1＋i，那么|z|等于A.1B.2C.5D.5√解析∵z＋iz－i＝1＋i，z＋i＝(1＋i)z－i，iz＝(2＋i)i，∴z＝2＋i，∴|z|＝1＋4＝5，故选C.12345678910111213141516171819205.(2018·成都七中模拟)已知i为虚数单位，a∈R，若i－2a－i为纯虚数，则a等于A.12B.－12C.2D.－2所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－12，故选B.解析由题意知i－2a－i＝i－2a＋ia－ia＋i＝－2a－1＋a－2ia2＋1＝－2a－1a2＋1＋a－2a2＋1i，又由i－2a－i为纯虚数，√12345678910111213141516171819206.若复数z满足3＋4iz＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于A.－15－75iB.－15＋75iC.－125－725iD.－1