人教版高中数学基础知识总结

1第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算1．集合与元素(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象叫做集合中的元素．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特性．(2)集合的两种表示法：其中列举法指的是将集合中的元素一一列举出来写在大括号内；描述法指的是将集合元素的公共属性写在大括号内．2．集合间的基本关系(1)子集：A中任意一个元素均为B中的元素，记为A⊆B或B⊇A.(2)真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素，记为AB或BA.(3)空集：空集是任何集合A的子集(∅⊆A)，是任何非空集合B的真子集(∅B(B≠∅))．3．集合的基本运算(1)并集：由属于A或属于B的所有元素构成的集合，记为A∪B.(2)交集：由既属于A又属于B的所有元素构成的集合，记为A∩B.(3)补集：若全集为U，A是U的子集，则由属于U但不属于A的所有元素构成的集合，记为∁UA.1．必明辨的2个易错点(1)在求集合或进行集合运算时，容易忽视集合元素的互异性而出错．(2)在运用B⊆A，A∩B＝B，A∪B＝A往往会忽视B＝∅的情况．2．解集合问题常用的方法(1)集合是由元素构成的，认清集合的元素对于处理集合之间的关系及进一步认识集合是非常重要的．(2)用好韦恩图，韦恩图是集合特有的，它是集合中将抽象问题转化为具体问题的重要工具．第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条2件．1．必明辨的2个易错点(1)充分条件与充分不必要条件及必要条件与必要不充分条件的区别与联系．(2)在探求充分条件或必要条件时要注意所判断命题的类别．2．求解充要条件问题常用的4种方法(1)利用原命题及逆命题：若仅原命题成立，则原命题的条件是结论的充分不必要条件；若仅逆命题成立，则原命题的条件是结论的必要不充分条件；若原命题与逆命题都成立，则原命题的条件是结论的充要条件；若原命题与逆命题都不成立，则原命题的条件既不是结论的充分条件也不是必要条件．(2)利用逆否命题及否命题：由于原命题与逆否命题等价、逆命题与否命题等价；因而在第一条途径失效时，要选择逆否命题及否命题．(3)利用“⇒，⇔”，若A⇒B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A⇔B，则A是B的充要条件．(4)利用集合之间的包含关系：设M＝{x|A(x)成立}，N＝{x|B(x)成立}；显然，A⇒B当且仅当M⊆N；即当且仅当M⊆N时，A是B的充分条件，B是A的必要条件；M＝N时，A是B的充要条件．第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3)对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．2．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题①短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．②全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立．”(2)存在量词与特称命题①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．②特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．必明辨的2个易错点(1)否命题与含有一个量词的命题的否定．后者是以含有量词且仅含一个为前提的命题，否则，就不谈否定．显然，并非所有的命题都可以写否定．但任何一个命题存在否命题．(2)书写命题的否定时，要结合全称量词与特称量词的特点进行．2．解逻辑联结词及命题的否定常用的方法3(1)利用命题的等价性对命题进行转化，即若綈p⇒q，则綈q⇒p.(2)书写含有一个量词的命题的否定时，有两个步骤：即转换量词与否定结论．第二章基本初等函数、导数及其应用第1课时函数及其表示1．函数的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．必明辨的2个易错点(1)函数与映射的区别与联系，函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．(2)两函数在什么条件下为同一函数？定义域、对应关系分别相同，两函数即为同一函数．2．理解函数概念中的2个关键词理清函数定义中的“任意x”与“唯一y”的含义．3．掌握求函数解析式的4种常见方法凑配法、换元法、消元法及待定系数法第2课时函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，M为最大值．(2)对于任意x∈I，都有f(x)≥M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，M为最小值．1．必明辨的2个易错点(1)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义不同．4(2)函数的最值与函数值域的关系．2．牢记2种方法(1)借助图象求函数的单调区间．(2)用“同增异减”求复合函数的单调区间．第3课时函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数．(2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数．2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．对称性(1)偶函数关于y轴对称．(2)奇函数关于原点对称．(3)若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．4．单调性与奇偶性的关系(1)偶函数在原点两侧的增减性相反．(2)奇函数在原点两侧的增减性一致．1．必明辨的2个易错点(1)奇、偶函数的定义域的特点若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性．(2)并非所有的周期函数都有最小正周期．2．求解奇偶性与周期性问题应注意以下2点(1)关注函数的定义域．(2)若函数f(x)满足fx＋T2＝－f(x)或fx＋T2＝1fx或fx＋T2＝－1fx，T≠0，则f(x)是周期函数，且周期为T.第4课时二次函数与幂函数1．二次函数的解析式的几种常用表达形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点；(3)标根式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．(4)重要性质(设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)5①对称轴方程为x＝－b2a；②a＞0时，抛物线开口向上，函数在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增，f(x)min＝4ac－b24a；③a＜0时，抛物线开口向下，函数在－∞，－b2a上递增，在－b2a，＋∞上递减，f(x)max＝4ac－b24a；④f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为－b2a，4ac－b24a.2．幂函数的定义(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．必明辨的2个易错点(1)求闭区间上二次函数的最值要结合图象，不可直接代入区间端点产生．(2)幂函数y＝xα，当α＝0或α＝1时的图象都是一条直线的说法是不正确的；因为幂函数f(x)＝x0(x≠0)的图象，是直线除去一个点．2．求解二次函数与幂函数问题时常用方法(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中三个字母的各自使命．a决定了开口方向；a，b共同决定对称轴位置；c决定与y轴的交点位置．(2)用待定系数法求二次函数解析式．(3)幂函数在第一象限的单调性决定了幂指数的符号，反之亦然第5课时指数函数1．根式的概念如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．2．有理指数幂6(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．②正数的负分数指数幂是：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)有理指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象及其性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数温馨提示：指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．第6课时对数函数1．对数的概念及运算法则(1)对数的定义，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的常用关系式①对数恒等式：alogaN＝N(a0且a≠1，N0)；②换底公式：logab＝logcblo