2.3-等差数列的前n项和-作业-及-答案

等差数列性质及前n项和作业1．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于()A．10B.15C．20D．30解析：选C.因为Sn＝na1＋12n(n－1)d＝10n＋12n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍)．2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18B.20C．22D．24解析：选B.由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为()A．1B.53C．2D．3解析：选C.因为S3＝（a1＋a3）×32＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝a3－a12＝2.4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于()A．66B.99C．144D．297解析：选B.根据等差数列的性质得(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝3(a1＋a9)＝66，所以S9＝9（a1＋a9）2＝99.5．已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，S1010－S88＝2，则S11＝()A．－11B.11C．10D．－10解析：选A.因为{an}为等差数列，所以Snn为等差数列，首项S11＝a1＝－11，设Snn的公差为d，则S1010－S88＝2d＝2，所以d＝1，所以S1111＝－11＋10d＝－1，所以S11＝－11.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项公式an＝________．解析：由已知得a1＋5d＝12，3a1＋3d＝12⇒a1＝2，d＝2，故an＝2n.答案：2n7．在等差数列{an}中，an0，a7＝12a4＋4，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝________．解析：因为在等差数列{an}中，an0，a7＝12a4＋4，所以a1＋6d＝12(a1＋3d)＋4，解得a1＋9d＝a10＝8，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝192(a1＋a19)＝19a10＝152.答案：1528．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18＝________．解析：由a1＞0，a10·a11＜0知d＜0，且a10＞0，a11＜0，所以T18＝a1＋a2＋…＋a10－a11－a12－…－a18＝2S10－S18＝60.答案：609．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式an；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)由a10＝30，a20＝50，得a1＋9d＝30a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋n（n－1）2d＝242，得12n＋n（n－1）2×2＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去)．10．已知等差数列{an}满足a2＝3，a3＋a5＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．解：(1)设数列{an}的公差为d，因为等差数列{an}满足a2＝3，a3＋a5＝2，所以a1＋d＝3，2a1＋6d＝2，解得a1＝4，d＝－1，所以an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－1)＝5－n.(2)因为等差数列{an}中，a1＝4，d＝－1，an＝5－n，所以Sn＝n（a1＋an）2＝n（4＋5－n）2＝－12n2＋92n＝－12n－922＋818，因为n∈N*，所以n＝4或n＝5时，Sn取最大值为10.[B能力提升]11．(2019·昆明一中期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m1，且am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m等于()A．38B.20C．10D．9解析：选C.S2m－1＝（2m－1）（a1＋a2m－1）2＝(2m－1)am，am－1＋am＋1－a2m＝0⇔2am＝a2m，由S2m－1＝38，可知am0，所以am＝2，(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.12．(2019·河北沧州一中高二(上)期中考试)在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为________．解析：因为在前m项中偶数项之和为S偶＝63，所以奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝2a1＋（m－1）d2＝72－63＝9.又am＝a1＋d(m－1)，所以a1＋am2＝9，因为am－a1＝14，所以a1＝2，am＝16.因为m（a1＋am）2＝135，所以m＝15，所以d＝14m－1＝1，所以a100＝a1＋99d＝101.答案：10113．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a5＝a4＋7，S10＝100.(1)求{an}的通项公式；(2)求满足不等式Sn3an－2的n的值．解：(1)设数列{an}的公差为d，由a3＋a5＝a4＋7，得2a1＋6d＝a1＋3d＋7，①由S10＝100得10a1＋45d＝100，②解得a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)因为a1＝1，an＝2n－1，所以Sn＝n（a1＋an）2＝n2，由不等式Sn3an－2，得n23(2n－1)－2，所以，n2－6n＋50，解得1n5，因为n∈N*，所以n的值为2，3，4.14．(选做题)已知数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.因为a1＝S1＝100×1－12＝99符合上式，所以an＝101－2n(n∈N*)．因为an＋1－an＝－2为常数，所以数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，因为n∈N*，所以n≤50(n∈N*)．①当1≤n≤50(n∈N*)时，an0，此时bn＝|an|＝an，所以数列{bn}的前n项和S′n＝100n－n2.②当n≥51(n∈N*)时，an0，此时bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得数列{bn}的前n项和S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2500－(100n－n2)＝5000－100n＋n2.由①②得数列{bn}的前n项和为S′n＝100n－n2（n∈N*，1≤n≤50），5000－100n＋n2（n∈N*，n≥51）.数列的概念与简单表示法、等差数列(强化练)一、选择题1．已知数列3，3，15，…，3（2n－1），…，那么9在此数列中的项数是()A．12B.13C．14D．15解析：选C.根据题意，an＝3（2n－1）.由an＝3（2n－1）＝9，解得n＝14，即9是此数列的第14项．故选C.2．(2019·湖北荆州检测)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是()A．15B.30C．31D．64解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a4＋a5＝3，所以3a4＝3，即a1＋3d＝1.又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－174，d＝74，则a12＝－174＋74×11＝15.故选A.3．若数列{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列解析：选C.设数列{an}的公差为d，令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，所以bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.4．(2019·长春十一中月考)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B.99C．98D．97解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.5．(2019·湖南濮阳月考)已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为()A.1720B.5960C．1D．6766解析：选D.设等差数列{an}的公差为d，由题意得4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766.所以中间一项为a5＝a1＋4d＝1322＋4×766＝6766.故选D.6．数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2020等于()A．1006B.2020C．505D．1010解析：选D.由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，故a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2020＝505×2＝1010.7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝an＋1an，那么a31＝()A．－358B.－259C．－130D．－261解析：选B.由已知可得1an＋1－1an＝－1，设bn＝1an，则数列{bn}是以12为首项，公差为－1的等差数列，所以b31＝12＋(31－1)×(－1)＝－592，故a31＝－259.8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布()A．30尺B.90尺C．150尺D．180尺解析：选B.由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，所以S30＝30×（5＋1）2＝90，即共织布90尺．9．已知数列{an}满足：a1＝17，对于任意的n∈N*都有an＋1＝72an(1－an)，则a2019－a2020＝()A．－27B.27C．－37D．37解析：选D.a1＝17，a2＝72×17×67＝37，a3＝72×37×47＝67，a4＝72×67×17＝37，….归纳可知，当n为大于1的奇数时，an＝67；当n为正偶数时，an＝37.故a2019－a2020＝37.10．在等差数列{an}中，首项a10，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)．有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是Sn中最大的项；③若S7S8，则必有S8S9；④若S7S8，则必有S6S9.其中正确命题的个数是()A．1B.2C．3D．4解析：选D.根据等差数列的性质，若S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝14（a1＋a14）2＝7(a7＋a8)＝0，根据等差数列Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是n＝3＋112＝7，那么S7是最大值；若S7S8，则a80，那么d0，所以a90，所以S9－S80，即S8S9，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a80，即S6S9.故①②③④正确．二、填空题11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则a6＝________．解析：因为an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5＝8.答案：81