机器人机构学-第二章

第二章串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表示串联机构的自由度公式机构运动输出的特征矩阵螺旋理论的基本知识串联机构的综合方法2.1串联机构的结构特征2.1.1串联机构的结构组成及符号表示1.运动副基本类型2.1串联机构的结构特征2.连杆参数与坐标系坐标轴的定义（zi-轴线方向,xii-1轴到i轴的公垂线,yi-右手准则）参数定义（杆长ai,,轴长di,,转角θi,,扭角αi,,2.1串联机构的结构特征连杆参数的特殊配置类型两运动轴线重合，即，但两运动副轴线平行，即可以任取，，两运动副轴线相交于一点，即，两运动副轴线垂直，即三个移动副平行于同一平面，即。0,0iid0,0iia0id,0iid0ia0,0,2iiida0ia0,,0iiia常数2.1串联机构的结构特征3.串联机构及结构组成的符号表示对由P副（移动副），R副（转动副）与H副（螺旋副），构成的串联机构（亦称单开链（SingleOpenedChain）简记为SOC），其结构组成可用符号表示。为此，约定（1）同一构件上两运动副轴线为任意方位配置，两者之间用“-”表示，如R-R,R-P,R-H,P-P等。（2）同一构件上两运动副轴线重合，两者之间用“∕”表示，如R∕R,R∕P,R∕H,P∕P等。（3）同一构件上两运动副轴线平行，两者之间用“∕∕”表示，如R∕∕R,R∕∕P,R∕∕H等。（4）同一构件上两运动副轴线相交于一点，两者共用“⌒”表示，如等。（5）若干个副平行于同一平面，用“◇（—P—P…—P—）”表示（6）同一构件上两运动副轴线垂直，两者之间用“⊥”表示，如R⊥R,R⊥P,R⊥H等，特别说明∶当R⊥P⊥R∗且R∕∕R∗时，记为R（⊥P）∕∕R∗；当R—P—R∗且R∕∕R∗时，记为R（—P）∕∕R∗。如C副（圆柱副）为，U副（万向节）为，S副（球副）为PRSOC//RRSOCRRRSOC2.1串联机构的结构特征2.1.2串联机构的活动度公式mi＝ifF＝1其中F—机构活动度m—机构运动副数fi—第i个运动副自由度数2.1串联机构的结构特征2.1.3串联机构运动输出特征矩阵1.串联机构的位移输出是末端构件的位置与方向（位姿），为机构运动输入的函数。记为位移输出矩阵即FS～M1221111111FFFFFFFs～～～～z～y～x＝～M321111111SFFFFFFFs～～～～z～y～x＝～M串联机构运动输出特征矩阵在串联机构的运动输出矩阵中，我们约定1）当式（2-2）的某元素为常量时，该元素用：“‧”表示之；相应在式（2-3）的对应元素用“0”表示之。2）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素用“｛该元素｝”表示之；但不再记；相应在式（2-3）的对应元素亦用“｛该元素｝”表示之；但不再记；3）当式（2-2）的某元素为非独立元素时，该元素记法同式（2-2），但不再记为；相应在式（2-3）的对应元素记法同式（2-3），但不再记。4）机构位移输出特征矩阵与速度输出特征矩阵仍分别记为Ms与,并统称为机构运动输出特征矩阵，简称为输出特征矩阵。F～1F～1F～1F～1SM串联机构运动输出特征矩阵例：图2-3yx＝MS000yx＝MS串联机构运动输出特征矩阵yx＝MSyx＝MS例：图2-4串联机构运动输出特征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素皆为独立运动输出时，其位移、速度输出特征矩阵分别为zyx＝MSzyx＝MSSSSRSPrt＝MSSSRSPrt＝M机构运动输出特征矩阵的矢量形式为输出数为独立平移或独立转动,3210,，或，，＝SRSP串联机构运动输出特征矩阵SSzyx＝MSSCrt＝M113//SSzyx＝MSSCrt＝M123◇//例：图2-5a例:图2-5b串联机构运动输出特征矩阵2.串联机构运动输出特征矩阵类型2.2螺旋理论2.2.1螺旋定义设S与S0为三维实空间两矢量（图2-6），且满足（简称搬迁公式），则S与S0构成一个螺旋，记作（2-5）式中，为Clifford算符，有S＋＝SS1201020SS＋＄20nn若以r表示沿S的单位矢量，ρ表示参考系原点O到r上任一点的矢径，则rSSr＋hS0rhr＋r＋＄式中：ω----螺旋＄的幅值；h----螺旋＄的节距螺旋对应于两个矢量代表的六个分量，是一个六维向量它可以表示两个刚体的相对运动和相互作用力S为刚体1的角速度，So为刚体2与刚体1重合点相对于刚体1的速度。则S＋SS120102若S为刚体2对刚体1的作用力，So为刚体2对刚体1的作用力矩。则S＋SS120102为了表示方便常用以下表示方法0,SS＄若S和S0在参考坐标系中表示为zyxrrrSzyxtttS0zyxzyxtttrrr＄对于纯转动或纯力h=0，对于移动或纯力偶，h=∞zyxzyxtttrrr＄zyxttt＄000为了便于运算记为zyxzyxrrrttt＄又由式（2-3）可知zyxMrrrttt＄Szyxzyx2.2.2螺旋运算1.加法设有两螺旋0111S＋S＄，0222S＋S＄，两螺旋的加法为：02012121＋SS＋＋SS＋＄＄螺旋的加法满足交换律与结合律。2.数乘设有螺旋aS＋S＄常数0111螺旋的数乘为0111S＋S＄螺旋的数乘满足分配律与结合律。3单位螺旋螺旋＄的单位螺旋00,ˆ0当SS＄当SS＄＄2.2.3螺旋系及其基本定理1定义定义1设一非空螺旋集合，若对任意一个数S，＄＄21S，＋＄＄21S＄1S为螺旋系。定义2由，＄，，＄＄21的任意线性组合形成的螺旋系的展成螺旋系，记作，＄，，＄＄S21定义3在螺旋系S中，若存在μ个线性独立的螺旋，且S中所有螺旋均是这个螺旋的线性组合，则称这μ个螺旋为螺旋系S的一个基，螺旋系一个基的螺旋数目μ称为该螺旋系的秩，记作order(s)定义4若螺旋系S的一个非空子集Si在螺旋加法与数乘下封闭，则Si为S的一个子螺旋系。，＄，，＄＄21定义5Si,Sj是螺旋系的两个子螺旋系的并为：jjiijijiS＄S＄＋＄＄SS,两子螺旋系的交为：jijiS＄S＄＄SS,2螺旋系串联定理串联定理：设刚体n由μ个螺旋系依次串联到刚体0上（图2-8），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-12即，若有，由式（2-9）可知1iiSS11iikijij＄＄S＄3单回路运动链的运动螺旋方程故两构件的相对运动螺旋。由式（2-13）可知，必有2-14式（2-14）称为单闭链运动螺旋方程00n＄0110iikijijn＄＄螺旋系并联定理并联定理：设刚体n由μ个螺旋系并联到刚体0上（图2-9），则刚体n与刚体0之间的相对运动螺旋系为：2-15螺旋系串、并联定理描述了刚体之间两种基本联接方式的螺旋系与各子螺旋系间的关系1iiSS2.2.4螺旋系的线性相关性1.螺旋系秩的判定设有μ个螺旋，若存在不全为零的数，使,则这μ个螺旋线线性相关；否则，这μ个螺旋线性无关。设螺旋的Pliucker坐标为，则个螺旋线线性相关可用下列矩阵的秩判定。(三维空间中最多有6个线性无关的螺旋，二维空间中最多有三个线性无关的螺旋）zuyuxuzuyuxuzyxzyxzyxzyxtttrrrtttrrrtttrrr22222211111101iii＄aziyixiziyixitttrrr2.坐标系与螺旋系相关性分析表明：螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。因此，从坐标系的选择应方便相关性判定。2.3串联机构运动输出特征方程2.3.1运动副运动输出特征矩阵1.移动副输出特征矩阵在坐标系O-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为0000zyxPttt＄PPzyxMPPPzyx＄M0000PPrPtM01//PPrPtM01//2.转动副输出特征矩阵对图2-11之R副，在坐标系0-xyz中，构件2与构件1之间的运动螺旋矩阵为RzyxRrtt＄0000RRRyx＄M0RRyxMRRRRrR、tM//11RRRRrR、tM//113螺旋副输出特征矩阵HzzyxHrttt＄000HHzyxMHHHzyx＄M0HHHHrH、tHtM////111HHHHrH、tHtM////1112.3.2串联机构运动输出特征方程ni＄i,,,2,1niin＄＄10znynxnznynxnziyixiziyixizyxzyxnznynnznynxnrrrtttrrrtttrrrtttrrrttt＄111111000000002321000000niziiyxiziiyxinznynxnznynxSrrrtttrrrtttzyxMniiiiiiiniiSSzyxMzyxM11机构运动过程的相关性判定准则相互平行的两平移必相关，只对应一个独立平移输出。平行于同一平面的三个平移必相关，只对应平行于该平面的两个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。不平行于同一平面的四个平移必相关，只对应不平行于该平面的三个独立平移输出。但应考虑到平移的三种形式：P副平移、R(H)副的转动衍生平移和H副的轴向平移。相互平行（重合）的两转动必相关，只对应一个独立转动输出。不同方向的四个转动必相关，只对应不平行于同一平面的三个独立转动输出。顺便说明：若要判定与机构运动位置有关的瞬时运动相关性，需补充更多的瞬时运动相关性判据，因机构拓扑结构设计只涉及运动过程相关性，不涉及瞬时运动相关性问题，这里不再重复。式2-23中运动相关性判断1）相应于串联机构输出特征矩阵的某独立运动输出元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素中，至少有一个为独立运动输出元素。2）相应于串联机构输出矩阵的某常量元素，式（2-23）的n个运动副输出特征矩阵的相同位置n个元素应皆为常量。3）串联