空间向量的夹角和距离公式

数学与信息学院2007080140216简岳知识结构框架图及分析平面向量坐标运算空间向量坐标运算类比结论二元模仿公式应用类比方法模仿公式应用三元空间图形平面图形应用公式应用公式类比方法平面向量与平面直角坐标系平面向量的坐标表示平面向量直角坐标运算向量的直角坐标运算1122(,),(,),AxyBxy若则AB问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？问1:设的坐标与的坐标有何关系?,aABaAB、问3:相等向量的坐标有什么关系？1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xxyy结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。夹角、2(2,1),(3,4),,,34abababab例：已知求的坐标.(2,1)(3,4)(1,5)ab解：(2,1)(3,4)(5,3)ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab(6,19)例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y),)Dxy解：设顶点的坐标为（)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDC123-,4)ABDCxy有得：（，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例4：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.空间两点间的距离公式、例5求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解221MM,14)12()31()47(222232MM,6)23()12()75(222213MM,6)31()23()54(22232MM,13MM原结论成立.例6设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标.解设P点坐标为),0,0,(x因为P在x轴上，1PP22232x,112x2PP22211x,22x1PP,22PP112x222x,1x所求点为).0,0,1(),0,0,1(BCC1A1B1ANM例题7：M22解答;⑴∵CA=CB=1,∠BCA=90,又AA1=2,N是其中点。∴AB=,AN=1∴BN=⑵将与平移后相交后即可以求解⑶同理，将投射到地面为CM1,则所求角额为A1B与CM1的夹角。显然为直角32BA1CB1C1M例题：•例8正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角A1zB1C1CByAxO•解:建立如图示的直角坐标系,则•A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)•设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)•由得•，解得，•取y=,得n=(3,,0)•而•∴•∴0200232azayxa03zyx33)2,0,(1aaAC21332320039|003||,cos|sin221aaaaaACn.30)2,0,0(),0,23,2(1aAAaaAB