平面向量的数量积导学案

河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，.【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________.2、向量数乘运算的定义是.3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？（二）自主探究：（预习教材P103-P106）探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=，其中是.请完成下列填空：F（力）是量；S（位移）是量；是；W（功）是量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？新知1向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a和b，我们把数量cosab叫做a和b的数量积（或内积），记作ab，即注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a。探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？小组讨论，完成下表：的范围0°≤90°=90°0°≤180°a·b的符号新知2：向量的数量积（或内积）几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把cosa叫做向量a在b方向上的投影；cosb叫做向量b在a方向年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授上的投影.说明：如图，1cosOBb.向量投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为_______值；当为钝角时投影为_______值；当当=0时投影为________；当＝９０时投影为__________；当=180时投影为__________.（2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。新知3：由定义得到的数量积的结论设a和b都是非零向量，是a与b的夹角，则(1)当a与b垂直时，90，即abab；（向量垂直的条件）(2)当a与b同向时，0，ab=；当a与b反向时，180，ab=；特别的当ab，即aa=，则a；（向量的求模公式）(3)cos||||abab（向量的夹角公式）(4）因为cos1，所以abab.二、深入学习1.已知5a，4b，a和b的夹角为120，则ab=__________2.（2010江西）已知向量a，b满足||2b，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是；3.设12a，9b，542ab，则a与b的夹角为（）A.45B.135C.60D.120三、迁移运用1.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则.____________.AEBD变式练习（1）、在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，3AP，则.APAC=.（2）、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_______.四、达标检测1.在平行四边形ABCD中，4AB，2BC，120BAD，则ABAD为（）A.4B.-4C.8D.-82.已知ABC，ABa，ACb，当0ab时，ABC为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形3.若四边形ABCD满足0ABCD，且0ABBC，则四边形ABCD是（）.A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.已知3a，5b，且12ab，则向量a在向量b的方向上的投影为.★5判断下列命题的真假，并说明理由.（1）、ABC为直角三角形，则0ABBC.（2）、ABC中，若0ACAB，则ABC是钝角三角形；若0BCAB，结论还成立吗？（3）、ABC中，若0ACAB，则ABC是锐角三角形；★7.已知4,3,(23).(2)61,|2|.ababababab求与的夹角并求★★8．（2013全国新课标）已知两个单位向量,ab的夹角为060，(1)..0,______.ctatbbct若则河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，.【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1向量的数量积（或内积）的定义2.向量a在b方向上的投影；3：向量的数量积（或内积）几何意义（二）自主探究：新知4：数量积的运算律(1)ab________;(2)ab（）___________=____________;(3)+abc（）._______________.二、深入学习变式练习：1、年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授2222222222)).()(2(;.2)1,,))((,2)(,1babababbaababababababababaRba）（（？是否有下面相似的结论对任意向量，恒有：我们知道，对任意的例).b3(b260b,4,6aaaba），求（的夹角为与若已知下题用上面得到的结论求解.|||,|60b,4,62babaaba，求的夹角为与若、已知例.|||,|,3b.,5,2babaaba求若已知2、变式练习：（2011新课标）已知,ab为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k=___________.三、迁移运用1、在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，3AP，则.APAC=.2、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_______.四、达标检测1.在平行四边形ABCD中，4AB，2BC，120BAD，则ABAD为（）A.4B.-4C.8D.-82.已知ABC，ABa，ACb，当0ab时，ABC为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形3.若四边形ABCD满足0ABCD，且0ABBC，则四边形ABCD是（）.A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.已知3a，5b，且12ab，则向量a在向量b的方向上的投影为.★5判断下列命题的真假，并说明理由.（1）、ABC为直角三角形，则0ABBC.（2）、ABC中，若0ACAB，则ABC是钝角三角形；若0BCAB，结论还成立吗？（3）、ABC中，若0ACAB，则ABC是锐角三角形；★7.已知4,3,(23).(2)61,|2|.ababababab求与的夹角并求★★8．（2013全国新课标）已知两个单位向量,ab的夹角为060，(1)..0,______.ctatbbct若则.,13||,3,4的夹角与求若已知bababa?b-bkb3互相垂直与为何值时，向量不共线，与、若例kaaka河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名【课程标准】1.熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【重点】1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【难点】1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量数量积的运算律：⑴向量数量积的交换律：.⑵ab＝＝.⑶向量的数量积的分配律：abc.⑷2ab＝.abab.（二）自主探究：探究1：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量1122,,,axybxy，怎样用a与b的坐标表示ab呢？思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝(11,yx),b＝(22,yx)，则向量a与b用i、j分别如何表示？思考2：对于上述向量i、j，则i2=，j2=，i·j=根据数量积的运算性质，ab=新知1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即1212abxxyy.探究1：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？思考1：设向量a＝(yx,)，利用数量积的坐标表示，︱a︱=思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(11,yx),(22,yx)，那么向量a的坐标如何表示？︱a︱=年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授思考3：设向量a＝(11,yx),b＝(22,yx)，若a⊥b，则11,yx，22,yx之间的关系如何？反之成立吗？思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(11,yx),b＝(22,yx)，那么cosθ如何用坐标表示？新知2：⑴若,axy，则222axy，或22axy.⑵若11,Axy，22,Bxy，则2121(,)ABxxyy，则222121ABxxyy.⑶若1122,,,axybxy，则12120abxxyy.⑷两个非零向量1122,,,axybxy是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy二、深入学习例1、（1）已知3,4,5,2ab，求,ab，ab及,ab之间夹角余弦值.（2）已知2,3,2,4,1,2abc，求ab，()()abab，()abc，2()ab变式：在△ABC中，AB=(1,1)，AC=(2,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.例3、已知3,2a，4,bk，若5355abba，试求k的值.三、迁移运用1.已知3,4a，5,2b，则ab等于（）A.23B.7C.23D.72.若3,4a，5,12b，则a与b夹角的余弦为（）A.6365B.3365C.3365D.63653.若4,3a，5,6b，则234aab等于（）A.23B.57C.63D.834.2,3a，2,4b，则abab=.5.已知向量1,2OA，3,OBm，若OAAB，则m.四、当堂检测1、若a=(－3，4)，b=(5，2)，则a·b＝（）A.23B.7C.－23D.－72、若a=(－3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为（）A.6563B.6533C.6533D.65631.已知3,4a，2,bx，2,cy，且//ab，ac，求⑴bc；⑵b、c的夹角.4、已知平面向量a＝(1，－3),b＝(4，－2)，若a+b与a垂直，=；1.已知点1,2A和4,1B，问能否在y轴上找到一点C，使90ACB，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.3、已知4,3a，1,2b，,mab2nab，按下列条件求实数的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小